高考中运算能力的考查

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高考中运算能力的考查

例1 (1996年全国高考文理科)

tan20°+tan40°+3tan20°tan40°的值是。

分析:三角函数的公式本身一般是一个恒等式,它是可以变形使用的。在教学过程中,有些公式应用广泛,给出几种不同的变形形式,并要求记住,如半角

的余弦公式有cosα2=±1+cosα2,cos2α2=1+cosα2,cosα=2cos2α2-1等多种形

式。对两角和正切公式,教材中只介绍了一种形式:tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα·tanβ而对它的变形形式,如:tanα+tanβ=tan(α+β)-tan(α+β)tanαtanβ,或tan(α+β) =tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ。

有些考生则不太熟悉,实际上,解本题时只要在上述公式中令α=20°,β=40°,便可直接求出。

tan20°+tan40°+3tan20°tan40°

= tan20°+tan40°+tan(20°+40°)tan20°tan40°

= tan(20°+40°)= tan60°=3。

可以看出,运算速度的快慢与公式掌握的熟练程度直接相关。本题主要从熟练使用公式的角度来考查运算能力。

例2 (2002年全国高考文理科)

设集合M={x|x=k2+14,k∈Z},N={x|x=k4+12,k∈Z},则()

A、M=N

B、M N

C、M N

D、M∩N=

分析:本题主要考查两个无限集合的关系,所给出的集合用算式表示。为了发现它们之间的关系,要求考生具备良好的推算能力和分析比较的技能。本题可以有多种解法,可以先从两个集合中数值的性质比较,因为k2+14=14 (2k+1),k4+12=14(k+2)。

所以,当k∈Z时,函数f(k)=2k+1的值域是奇数集,而函数f(k)=k+2的值域是整数集Z,奇数集包括在整数集中,所以选项B正确,这个解法运用了函数的思想和观点。

也可以用排除法解题,由34∈(M∩N)排除D;由1∈N且1M,排除D、

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高考中运算能力的考查 例 1 (1996 年全国高考文理科) tan20° +tan40° +3tan20° tan40° 的值是。 分析:三角函数的公式本身一般是一个恒等式,它是可以变形使用的。在教 学过程中,有些公式应用广泛,给出几种不同的变形形式,并要求记住,如半角 的余弦公式有 cosα2=±1+cosα2,cos 2α2=1+cosα2,cosα=2cos 2α2-1 等多种形 式。 对两角和正切公式, 教材中只介绍了一种形式: tan (α+β) =tanα+tanβ1-tanα·tanβ 而对它的变形形式,如:tanα+tanβ=tan(α+β)-tan(α+β)tanαtanβ,或 tan(α+β) =tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ。 有些考生则不太熟悉, 实际上, 解本题时只要在上述公式中令 α=20°, β=40°, 便可直接求出。 tan20° +tan40° +3tan20° tan40° = tan20° +tan40° +tan(20° +40° )tan20° tan40° = tan(20° +40° )= tan60° =3。 可以看出, 运算速度的快慢与公式掌握的熟练程度直接相关。本题主要从熟 练使用公式的角度来考查运算能力。 例 2 (2002 年全国高考文理科) 设集合 M={x|x=k2+14,k∈Z},N={x|x=k4+12,k∈Z},则( ) A、M=N B、M N C、M ND、M∩N= 分析:本题主要考查两个无限集合的关系,所给出的集合用算式表示。为了 发现它们之间的关系, 要求考生具备良好的推算能力和分析比较的技能。本题可 以 有 多 种 解 法 , 可 以 先 从 两 个 集 合 中 数 值 的 性 质 比 较 , 因 为 k2+14=14 (2k+1),k4+12=14(k+2)。 所以,当 k∈Z 时,函数 f(k)=2k+1 的值域是奇数集,而函数 f(k)=k+2 的值 域是整数集 Z,奇数集包括在整数集中,所以选项 B 正确,这个解法运用了函数 的思想和观点。 也可以用排除法解题,由 34∈(M∩N)排除 D;由 1∈N 且 1 M,排除 D、 C,得 B 正确。 还可以考虑等式 k2+14=l4+12,解得 l=2k-1,对任意的整数 k,l 也为整数, 故 M 中的元素都在 N 中;而当 l 是偶数时,不存在整数 k 使得 l=2k-1,故 N 中 有些元素(如 12)不在 M 中,从而,得 M 例 3 (1996 年全国高考) 当-π2≤x≤π2 时,函数 f(x)=sinx+3cosx 的( ) 。 A、最大值是 1,最小值是-1 B、最大值是 1,最小值是-12 C、最大值是 2,最小值是-2 D、最大值是 2,最小值是-1 分析:将解析式 sinx+3cosx 变形为 2sin(x+π3)是解本题的关键步骤,这种 常用的恒等变形是应该要求考生熟练掌握的,当然不是要求死背这些公式,而是 要求考生应该立刻反应出需要使用公式 asinθ+bcosθ=a 2+b 形。 sinx+3cosx =2(12sinx+32cosx) =2(sinxcosπ3+cosxsinπ3) =2sin(x+π3) 熟练掌握常用的恒等变形, 可以提高运算的速度,是高考考查运算能力的一 个方面。 所以笔者在毕业班和补习班的综合复习时,特别注重培养学生的运算能 力,利用历年全国高考的试题进行强化训练,效果良好。 注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以 PDF 格


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