新人教版九年级上册数学22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(1)》名师教案

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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

第一课时

一、教学目标

(一)学习目标

1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.

2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性及最大或最小值.

3.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y=ax2+bx+c的性质.

4.能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题,深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.

(二)学习重点

用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其性质。

(三)学习难点

理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质,会利用二次函数的图象性质解决简单的实际问题.

二、教学设计

(一)课前设计

1.预习任务

(1)二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h,当a>0时,开口向上,此时二次函数有最小值,当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小;当a<0时,开口向下,此时二次函数有最大值,当x<h时,y随x的增大而增大,当x>h时,y随x的增大而减小.

(2)用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式为,则h=-,k=.则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(-,),对称轴是x=-,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小)值,当a>0时,函数y有最小值,当a<0时,函数y有最大值.

2.预习自测

(1)抛物线y=2x2-2x-1的开口________,对称轴是________.

【知识点】二次函数的性质.

【解题过程】解:抛物线y=2x2-2x-1,∵2>0,∴开口向上,对称轴为:

【思路点拨】掌握二次函数的性质,正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键.

【答案】向上,

(2)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是________.

【知识点】二次函数的性质.

【解题过程】解:将y=x2-2x+2配方得,顶点坐标是(1,1).

【思路点拨】将抛物线的一般式,用配方法转化为顶点式,根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标.

【答案】(1,1)

(3)二次函数y=x2+2x+1的最_____值是________.

【知识点】二次函数的最值.

【解题过程】解:将y=x2+2x+1配方得,∵>0,∴其最小值是-1.

【思路点拨】把二次函数的解析式整理成顶点式形式,然后确定出最大值.

【答案】小,-1

(4)

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:① 4ac<b2;② a+c>b;

③ 2a+b>0.其中正确的有(  )

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

【知识点】二次函数图象与系数的关系.

【思路点拨】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确,根据x=﹣1,y<0,即可判断②错误,根据对称轴x>1,即可判断③正确,由此可以作出判断.

【解题过程】解:∵抛物线与x轴有两个交点,

∴△>0,

∴b2﹣4ac>0,

∴4ac<b2,故①正确,

∵x=﹣1时,y<0,

∴a﹣b+c<0,

∴a+c<b,故②错误,

∴对称轴x>1,a<0,

∴﹣>1,

∴﹣b<2a,

∴2a+b>0,故③正确.

故选B.

【答案】B

(二)课堂设计

1.知识回顾

(1)二次函数的图象性质:

开口方向

向上

向下

对称轴

顶点坐标

增减性

时,y随x的增大而减小;当时,y随x的增大而增大

时,y随x的增大而增大;当时,y随x的增大而减小

最值

时,

时,

(2)抛物线的平移规律:

(h)左加右减,(k)上加下减

2.问题探究

探究一 从旧知识过渡到新知识

●活动① 复习配方

填空:(1) ; (2) .

生答:(1)2,5; (2)

总结规律:当二次项的系数为1时,常数项须配一次项系数一半的平方.

【设计意图】复习配方,为新课作准备

●活动② 以旧引新

1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象,可以由函数y=ax2的图象先向________平移________个单位,再向________平移________个单位得到.

生答:左或右,,上或下,

2.二次函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向________,对称轴是________,顶点坐标是________.

生答:a>0,向上;a<0,向下 x=h (h,k)

3.二次函数y=

x2-6x+21,你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗?

点拨:先将y=

x2-6x+21配方,再得出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象,由此引出新课。

【设计意图】整合旧知,引出新课。

探究二 用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴 ★ ▲

●活动① 合作探究

例1:画函数的图象,并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.

分析:首先要用配方法将函数写成的形式;然后,确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标;接下来,利用函数的对称性列表、描点、连线.

解:y=

x2-6x+21

(x2-12x+42)

(x2-12x+36-36+42)

(x2-12x+36+6)

(x2-12x+36)+3

(x-6)2+3.

画图略,所以它的开口向上,对称轴是x=6, 顶点坐标是(6,3)。

归纳:

一般式化为顶点式的思路:(1)二次项系数化为1;(2)加、减一次项系数一半的平方;(3)写成平方的形式.

【设计意图】引导学生利用配方法,求抛物线的对称轴和顶点坐标,并由此作抛物线。

●活动② 小组讨论

如果每次都采取“配方”,岂不是很麻烦?有更好的办法吗?

例2:求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.

在小组讨论的基础上,得出如下解法:

解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得

配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方= 提取二次项系数

=

整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项=

化简:去掉中括号=

点拨:

1.

运用配方法,可以将二次函数表达式的两种形式相互转化.将二次函数(一般式)与(顶点式)的形式,即,则.

2.

在二次函数与二次函数中,.

【设计意图】通过对二次函数的一般式进行配方,从而得出求抛物线的对称轴和顶点坐标的公式。

探究三 二次函数的图象及性质 ★ ▲

●活动 师生共研,探究性质

画出函数y=

x2-4x+10的图象,并试着说出它的性质.

解: y=

x2-4x+10

(x2-8x+20)

(x2-8x+16+4)

(x-4)2+2.

x

0

2

4

6

8

y

10

4

2

4

10

列表:

描点、连线:

观察图象知:开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,2).当x>4时,y随x的增大而增大;当x<4时,y随x的增大而减小.当x=4时,函数y取最小值2.

思考、讨论下列问题:

1.对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?

2.观察二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,在对称轴的左右两侧,y随x的增大有什么变化规律?

3.函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?

4.你能归纳总结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质吗?

在学生讨论的基础上,归纳如下:

二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质,如下表:

函数

二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)

图像

a>0

a<0

性质

当a>0时,抛物线开口向上,并且向上无限延伸.

对称轴是直线,顶点坐标为.

在对称轴的左侧,即相当于时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即相当于时,y随x的增大而增大.简记为“左减右增”

抛物线有最低点,当时,y有最小值,y最小值=.

当a<0时,抛物线开口向上,并且向下无限延伸.

对称轴是直线,顶点坐标为.

在对称轴的左侧,即相当于时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即相当于时,y随x的增大而减小.简记为“左增右减”

抛物线有最高点,当时,y有最大值,y最大值=

【设计意图】充分发挥学生的主体作用,引导学生总结二次函数的图象性质。

探究四 二次函数的图象及性质的应用

●活动① 基础性例题

例1:把下面的二次函数的一般式化成顶点式:y=2x-5x+3.

【知识点】二次函数的顶点式.

【解题过程】

解法一:用配方法:

解法二:用公式法:

【思路点拨】一般式化为顶点式有两种方法,一种是配方法,另一种是代入公式法.

【答案】

练习:若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b,k的值分别为( )

A.0,5 B.0,1 C.-4,5 D.-4,1

【知识点】二次函数的顶点式.

【解题过程】解:∵y=(x-2)2+k=x2+k,∴b=-4,4+k=5,∴k=1,故选D

【思路点拨】将配方后为的函数式展开后与原函数式对照求解。

【答案】D

例2.已知:抛物线y=2x-4x-6.

(1)直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标;

(2)求抛物线与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标;

(3)当x为何值时,y随x 的增大而增大?

【知识点】二次函数的图象与性质.

【解题过程】解:(1)开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-8).

(2)令y=0,得2x-4x-6=0,解得x=-1,x=3,

所以与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).

令x=0,得y=-6,所以与y轴的交点坐标为(0,-6).

(3)当x≥1时,y随x 的增大而增大.

【思路点拨】(2)和以前学的一次函数一样,求图象与x轴的交点坐标令

y=0,求图象与y轴的交点坐标令x=0,解方程即可.

【答案】 (1)向上,直线x=1,(1,-8);(2)(-1,0),(3,0);(0,-6).(3)x≥1.

练习:若点A(2,y1)、B(3,y2)是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点,则y1与y2的大小关系为y1   y2(填“>”、“<”、“=”).

【知识点】二次函数的增减性

【解题过程】解:∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1,在对称轴的右面y随x的增大而增大,

∵点A(2,y1)、B(3,y2)是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点,1<2<3,

∴y1<y2.故填:<.

【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴,再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.

【答案】<

【设计意图】让学生熟悉配方法和二次函数性质.

●活动2 提升型例题

例3.已知0≤x≤,那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是(  )

A.

﹣10.5 B.2 C.﹣2.5 D.﹣6

【知识点】二次函数的最值.

【解题过程】解:∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2(x﹣2)2+2.

∴该抛物线的对称轴是x=2,且在x<2上y随x的增大而增大.

又∵0≤x≤

∴当x=时,y取最大值,y最大=﹣2(﹣2)2+2=﹣2.5.

故选:C.

【思路点拨】确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值.

【答案】C

练习:抛物线上部分点的横坐标,纵坐标的对应值如下表:

-2

-1

0

1

2

0

4

6

6

4

从上表可知,下列说法中正确的是   .(填写序号)

①抛物线与轴的一个交点为(3,0); ②函数的最大值为6;

③抛物线的对称轴是;④在对称轴左侧,增大而增大.

【知识点】二次函数的性质,解方程组。

【解题过程】解法一:把表中任三点代入,求得

抛物线函数关系式为。据此即可作出判断:

①(3,0)代入成立,选项正确;

②函数的最大值为,选项错误;

③抛物线的对称轴是,选项正确;

,所以在对称轴左侧,增大而增大,选项正确。

故正确的是①③④。

解法二:根据表格中的数据,抛物线的对称性,观察抛物线的对称轴是,③选项正确;∵抛物线与x轴的一个交点为(-2,0),∴抛物线与轴的一个交点为(3,0),①选项正确;

∵抛物线过(0,6)、(1,6)两点,∴函数的最大值不可能为6,②选项错误;

观察表格知,在对称轴左侧,增大而增大,④选项正确。故正确的是①③④。

【思路点拨】题中给出表格,可根据所给数据,求出函数解析式,再据此即可作出判断;也可根据表格中的数据,抛物线的对称性,以及二次函数的图象性质,进行判断。

【答案】①③④。

例4.将抛物线y=ax+bx+c向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线y=x+2x+3,求a,b,c的值.

【知识点】抛物线的平移

【数学思想】逆向思维

【解题过程】解:∵y=x+2x+3=(x+1)+2,

∴把抛物线y=(x+1)+2向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,

得到抛物线y=(x+4)+4.∴ax+bx+c=(x+4)+4=x+8x+20,

∴a=1,b=8,c=20.

【思路点拨】此题应用了逆向思维.由抛物线y=ax+bx+c变到抛物线y=x+2x+3,不易求a,b,c的值;但反过来由抛物线y=x+2x+3平移成抛物线y=ax+bx+c就可轻松求解.

【答案】a=1,b=8,c=20.

练习:将抛物线向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式为( )

A. B. C. D.

【知识点】抛物线的平移

【解题过程】解:将抛物线化为顶点式为:,左平移3个单位,再向上平移5个单位,

得到抛物线的表达式为

故选D.

【思路点拨】先将一般式化为顶点式,根据左加右减,上加下减来平移

【答案】D

【设计意图】让学生进一步掌握二次函数图象性质以及抛物线的平移规律

●活动3 探究型例题

例5.如图所示,二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.

(1)求m的值;

(2)求点B的坐标;

(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.

【知识点】二次函数的图象性质,解一元二次方程,三角形面积

【数学思想】数形结合,方程思想。

【解题过程】解:(1)将(3,0)代入二次函数解析式,得-32+2×3+m=0.

解得,m=3.

(2)二次函数解析式为y=-x2+2x+3,令y=0,得-x2+2x+3=0.

解得x=3或x=-1.

∴点B的坐标为(-1,0).

(3)∵S△ABD=S△ABC,点D在第一象限,

∴点C、D关于二次函数对称轴对称.

∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1,点C的坐标为(0,3),

∴点D的坐标为(2,3).

【思路点拨】解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系,底相同且面积相等的两个三角形高相等。

【答案】(1)m=3;(2)(-1,0);(3)(2,3).

练习:两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用表示,而且左右两条抛物线关于y 轴对称.

⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少?

⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少?

【知识点】二次函数的图象性质

【解题过程】解:(1)

(2)

【思路点拨】(1)将二次函数解析式配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;(2)由左右两条抛物线关于y 轴对称,得出另一条抛物线解析式,可知它们的顶点坐标,从而求得两条钢缆最低点之间的距离。

【答案】(1)1m;(2)40m.

【设计意图】综合运用二次函数的图象性质解题。

3. 课堂总结

知识梳理

二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

函数

开口方向

向上

向下

顶点坐标

对称轴

直线

增减性

时,的增大而减小;

时,的增大而增大;

时,的增加而增大;

时,的增加而减小;

最值

时,有最小值,为

时,有最大值,为

重难点归纳

1.在画函数图象时,要在顶点的两边对称取点,画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征.

2.抛物线y=ax2+bx+c是以直线为对称轴的轴对称图形,有以下性质:

(1)抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等;抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。

(2)如果抛物线交x轴于两点,那么这两点一定关于对称轴对称。

(3)若设抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标为,则抛物线的对称轴是直线

3.直接运用公式确定对称轴和顶点坐标时,不能忽视a,b,c的值的符号。

4.一般式的二次函数图象的平移法:对于一般式的图象平移,是先将一般式化成顶点式,再利用“左加右减,上加下减”规则来求解.特别提醒:对于一般式的图象平移,一般式也可以不化成顶点式,只要熟记左加右减在所有的x上加减,上加下减在函数表达式的末尾加减即可.

5.二次函数的最大值和最小值可以通过以下几种方法来解:

(1)配方法:

(2)公式法:

(3)图象法:作出二次函数的图象,通过图象可以直观地观察到图象的最高点和最低点,此时的函数值为函数的最大值和最小值.

注意:通过二次函数的最值解答实际问题时,要注意自变量x的取值范围,要考虑实际问题的需要,有时的函数值不在函数的取值范围内.

(三)课后作业

基础型 自主突破

1.若二次函数y=x2+bx+7配方后为y=(x-3)2+k,则b,k的值分别为( )

A.0,7 B.0,-2 C.-6,4 D.-6,-2

【知识点】配方法,二次函数顶点式

【解题过程】解:∵y=(x-3)2+k=x2+k,∴b=-6,9+k=7,∴k=-2,故选D

【思路点拨】将配方后为的函数式展开后与原函数式对照求解。

【答案】D

2.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为(  )

  A.x=4 B. x=﹣4 C. x=2 D. x=﹣2

【知识点】二次函数的性质.

【解题过程】解:二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为:x=﹣=﹣=﹣2.

故选:D.

【思路点拨】正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键.

【答案】D

3.若二次函数,当时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是( )

A、 B、 C、 D、

【知识点】二次函数的性质。

【解题过程】 由次函数知对称轴是,由二次函数的性质知,当时,y随x的增大而减小,由已知当时,y随x的增大而减小,故当时,y随x的增大而减小。故选C。

【思路点拨】运用的抛物线的增减性求解.

【答案】C

4.二次函数的最大值为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

【知识点】二次函数的最值.

【解题过程】配方,得,∵<0,∴当x=1时,y有最大值,最大值为5.故选C.

【思路点拨】利用配方求,也可用顶点坐标公式求。

【答案】C

5.对于二次函数y=(x﹣1)2+2的图象,下列说法正确的是(  )

A.开口向下 B.对称轴是x=﹣1 C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有两个交点

【知识点】二次函数的性质.

【解题过程】解:二次函数y=(x﹣1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.

故选:C.

【思路点拨】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,从而可判断抛物线与x轴没有公共点.

【答案】C

6.将抛物线y=x2-8x+18向左平移3个单位,再向下平移5个单位,得到抛物线的表达式为( )

A.y=(x-1)2+13  B.y=(x-7)2-3 C.y=(x-7)2-13  D.y=(x-1)2-3

【知识点】抛物线的平移

【解题过程】解:将抛物线化为顶点式为:y=(x-4)2+2,左平移3个单位,再向下平移5个单位,

得到抛物线的表达式为

故选D.

【思路点拨】先将一般式化为顶点式,根据左加右减,上加下减来平移

【答案】D

能力型 师生共研

7.如图,函数的部分图象与轴、轴的交点分别为A(1,0),B(0,3),对称轴是=-1.在下列结论中,错误的是( )

A.顶点坐标为(-1,4)

B.函数的解析式为

C.当时,的增大而增大

D.抛物线与轴的另一个交点是(-3,0)

【知识点】二次函数的图象和性质。

【数学思想】数形结合

【解题过程】把A(1,0),B(0,3)代入即可求出函数的解析式为。化为顶点式为。因此顶点坐标为(-1,4),且当时,的增大而增大,当时,的增大而减小。根据抛物线的对称性,抛物线关于=-1对称,由A(1,0)得抛物线轴的另一个交点是(-3,0)。因此C.当时,的增大而增大,错误。故选C。

【思路点拨】利用二次函数性质进行判断。

【答案】C

8.已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件:①对称轴是x=1;②最值是15;③二次函数的图象与x轴有两个交点,其横坐标的平方和为15﹣a,则b的值是( )

A、4或﹣30 B、﹣30 C、4 D、6或﹣20

【知识点】抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数的最值,一元二次方程根与系数的关系。

【解题过程】由已知,二次函数图象的顶点为(1,15),可设解析式为:y=a(x-1)2+15,

即y=ax2-2ax+15+a。

∵二次函数的图象与x轴有两个交点,设为x1,x2,它们是ax2-2ax+15+a=0的两个根。

∴根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=2,

∵由已知,,∴,即

解得a=-2或15。

当a=-2时,y=-2x2+4x+13,b=4;

当a=15时,y=15x2-30x+30,此时,图象开口向上,顶点为(1,15),与x轴没有交点,与已知不符。

∴b=4。故选C。

【思路点拨】已知抛物线的对称轴和最值,知顶点坐标,可设顶点式;二次函数y=ax2-2x+15+a的图象与x轴有两个交点横坐标的平方和为15﹣a,即得一元二次方程ax2-2x+15+a=0的两个根平方和为15﹣a,再利用一元二次方程根与系数的关系可求a的值。

【答案】C

探究型 多维突破

9.当-2≤x≤1时,二次函数y= - (x-m)+m+1有最大值4,则实数m的值为(  )

A. B.

C.2或 D.2或

【知识点】二次函数的最值,解一元二次方程

【数学思想】分类讨论

【解题过程】

二次函数的对称轴为直线x=m,

m<-2时,x= -2时二次函数有最大值,

此时-(-2-m)2+m2+1=4,

解得m=-,与m<-2矛盾,故m值不存在;

当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,

此时,m2+1=4,

解得m=-,m=(舍去);

当m>1时,x=1时,二次函数有最大值,

此时,-(1-m)2+m2+1=4,

解得m=2,

综上所述,m的值为2或-.

故选C.

【思路点拨】根据二次函数在顶点求最值和在区间求最值分类讨论求解。

10.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2,6),C(2,2)两点.

(1)试求抛物线的解析式;

(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;

(3)若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.

【知识点】待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,解二元方程组.

【数学思想】数形结合

【解题过程】解:(1)由题意解得

∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2.

(2)∵y=x2﹣x+2=(x﹣1)2+

∴顶点坐标(1,),

∵直线BC为y=﹣x+4,∴对称轴与BC的交点H(1,3),

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=?3+?1=3.

(3)由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0,

当△=0时,直线与抛物线相切,1﹣4(4﹣2b)=0,

∴b=

当直线y=﹣x+b经过点C时,b=3,

当直线y=﹣x+b经过点B时,b=5,

∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,

<b≤3.

【思路点拨】(1)根据待定系数法即可解决问题.

(2)求出直线BC与对称轴的交点H,根据S△BDC=S△BDH+S△DHC即可解决问题.

(3)由,当方程组只有一组解时求出b的值,当直线y=﹣x+b经过点C时,求出b的值,当直线y=﹣x+b经过点B时,求出b的值,由此即可解决问题.

【答案】(1)y=x2﹣x+2;(2)3;(3)<b≤3.

自助餐

1.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,5)、B(4,5),那么此抛物线的对称轴是( )

A.x=5 B.x=2 C.x=3 D.无法确定

【知识点】抛物线的对称轴

【解题过程】∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,5)、B(4,5),由抛物线的对称性,知点A、B关于抛物线的对称轴对称,∴对称轴是直线,故选B.

【思路点拨】根据抛物线的对称性求解。

【答案】B

2.二次函数y=m2x2-4x+1有最小值为-3,则m等于( )

A.m=1 B.m=-1 C.m=1 D.m=

【知识点】二次函数的最值

【解题过程】∵二次函数y=m2x2-4x+1有最小值为-3,∴由二次函数最值公式,得,解得m=1.故选C.

【思路点拨】正确记忆二次函数最值公式是解题关键.

【答案】C

3.若二次函数的图象经过A(-1,1)、B(2,2)、C(3)三点,则关于1、2、3大小关系正确的是___________________.

A.1>2>3 B.1>3>2 C.2>1>3 D.3>1>2

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的增减性和对称性,实数的大小比较。

【解题过程】由,根据二次函数的增减性知,当时,的增大而减小。又根据二次函数的对称性知,点(3)关于对称的点(3)也在的图象上。

∵-1<<2,且三点都在左侧,

1>3>2。故填1>3>2 。

【思路点拨】先配方,得到二次函数图象的对称轴,再根据当图象开口向上时,所给图象上的点离对称轴越近,其纵坐标值越小,而得解。

【答案】1>3>2

4.如图,抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)过点(﹣1,0)和点(0,﹣3),且顶点在第四象限,设P=a+b+c,则P的取值范围是是_______________.

【知识点】二次函数图象的性质,二次函数图象与系数的关系

【数学思想】数形结合

【解题过程】解:∵抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)过点(﹣1,0)和点(0,﹣3),

∴0=a﹣b+c,﹣3=c,

∴b=a﹣3,

∵当x=1时,y=ax2+bx+c=a+b+c,

∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6,

∵顶点在第四象限,a>0,

∴b=a﹣3<0,

∴a<3,

∴0<a<3,

∴﹣6<2a﹣6<0,

即﹣6<P<0.

故填:﹣6<P<0.

【思路点拨】此题主要考查了二次函数图象的性质,根据图象过(﹣1,0)和点(0,﹣3)得出a与b的关系,以及当x=1时a+b+c=P是解决问题的关键.

【答案】﹣6<P<0

5.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为(0,﹣1),该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.

(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;

(2)若点H(1,y)在BC上,连接FH,求△FHB的面积;

(3)一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,连接OM,BM,设运动时间为t秒(t>0),在点M的运动过程中,当t为何值时,∠OMB=90°?

(4)在x轴上方的抛物线上,是否存在点P,使得∠PBF被BA平分?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【知识点】二次函数的性质,待定系数法的应用,一次函数性质,三角形面积,解方程组,勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解题过程】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,

,∴

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+

(2)如图1,

过点A作AH∥y轴交BC于H,BE于G,

由(1)有,C(0,﹣2),

∵B(3,0),

∴直线BC解析式为y=x﹣2,

∵H(1,y)在直线BC上,

∴y=﹣

∴H(1,﹣),

∵B(3,0),E(0,﹣1),

∴直线BE解析式为y=x﹣1,

∴G(1,﹣),

∴GH=

∵直线BE:y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相交于F,B,

∴F(,﹣),

∴S△FHB= S△FHG+S△GHB=××(3﹣)=

(3)如图2,

由(1)有y=﹣x2+x﹣2,

∵D为抛物线的顶点,

∴D(2,),

∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,

∴设M(2,m),(m>),

∴OM2=m2+4,BM2=m2+1,OB2=9,

∵∠OMB=90°,

∴OM2+BM2=OB2,

∴m2+4+m2+1=9,

∴m=或m=﹣(舍),

∴M(0,),

∴MD=

∵一动点M从点D出发,以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动,

∴t=

(4)存在点P,使∠PBF被BA平分,

如图3,

∴∠PBO=∠EBO,

∵E(0,﹣1),

∴在y轴上取一点N(0,1),

∵B(3,0),

∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①,

∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上,

联立①②得,(舍),

∴P(),

即:在x轴上方的抛物线上,存在点P,使得∠PBF被BA平分,P().

【思路点拨】(1)用待定系数法求出抛物线解析式;

(2)先求出GH,点F的坐标,用三角形的面积公式计算即可;

(3)设出点M,用勾股定理求出点M的坐标,从而求出MD,最后求出时间t;

(4)由∠PBF被BA平分,确定出过点B的直线BN的解析式,求出此直线和抛物线的交点即可.

【答案】(1)y=﹣x2+x﹣2=﹣(x﹣2)2+;(2);(3)t=

(4)P().

6.如图,对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点,其中A点的坐标为(-3,0)。

(1)求点B的坐标;

(2)已知,C为抛物线与y轴的交点。

若点P在抛物线上,且,求点P的坐标;

设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值。

【知识点】二次函数的性质,待定系数法的应用,曲线上点的坐标与方程关系。

【数学思想】数形结合,分类讨论

【解题过程】

(1)∵A、B两点关于对称轴x= -1对称,且A点的坐标为(-3,0),

∴点B的坐标为(1,0).

(2)

∵抛物线a=1,对称轴为x= -1,经过点A(-3,0),

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.

∴C点的坐标为(0,-3).∴OB=1,OC=3.∴

设点P的坐标为(P,P2),则

,解得P=±4.

当P=4时,P2=5;当P=-4时,P2+2P-3=-3.

∴点P的坐标为(4,21)或(-4,5).

设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A、C的坐标代入,得:

∴直线AC的解析式为y=-x-3.

∵点Q在线段AC上,∴设点Q的坐标为(q,-q-3).

又∵QD⊥x轴交抛物线于点D,∴点D的坐标为(q,q2).

∴QD-(q2)=-q2-3q= -

∵a=-1<0,,-3<-<0,∴线段QD长度的最大值为-.

【思路点拨】(1)由抛物线的对称性直接得B点的坐标;(2)①用待定系数法求出抛物线的解析式,从而可得点C的坐标,得到,设出点P的坐标,据列式求解即得点P的坐标.②用待定系数法求出直线AC的解析式,由Q在线段AC上,可设点Q的坐标为,从而由QD⊥x轴交抛物线于点D,得点D的坐标为,从而线段QD等于两点纵坐标之差,列出函数关系式应用二次函数最值原理求解。

【答案】(1)(1,0);(2)(4,21)或(-4,5);(3)

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22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质 第一课时 一、教学目标 (一)学习目标 1.会用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.会用配方法求抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标、开口方向、对称轴、y 随 x 的增 减性及最大或最小值. 3.经历探索二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及 性质的过程,理解二次函数 y=ax2+bx+c 的性质. 4.能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题,深刻理解数学建模思想以 及数形结合的思想. (二)学习重点 用描点法画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和通过配方确定抛物线的对 称轴、顶点坐标及其性质。

(三)学习难点 理解二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象和性质,会利用二次函数的图象性 质解决简单的实际问题. 二、教学设计 1 (一)课前设计 2 1.预习任务 (1)二次函数 y=a(x-h)2+k 的顶点坐标是(h,k),对称轴 是 x=h,当 a>0 时,开口 向上,此时二次函数有最小值,当 x>h 时,y 随 x 的增大而增大,当 x<h 时,y 随 x 的增 大而减小;当 a<0 时,开口向下,此时二次函数有最大值,当 x<h 时, y 随 x 的增大而增大,当 x>h 时,y 随 x 的增大而减小. 2 (2) 用配方法将 y=ax2+bx+c 化成 y=a(x-h)2+k 的形式为 y ? a ? x ? b ? ? 4ac ? b . , ? ? 2 ? 2a ? 4a 2 则 h=- b , k= 4ac ? b . 则二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点坐标是 (- b , 4a 2a 2a 4ac ? b 2 ),对称轴是 x=- b ,当 x=- b 时,二次函数 y=a x2+bx+c 有最大(最小) 4a 2a 2a 值,当 a>0 时,函数 y 有最小值,当 a<0 时,函数 y 有最大值. 2.预习自测 (1)抛物线 y=2x2-2x-1 的开口________,对称轴是________. 【知识点】二次函数的性质. 【解题过程】解:抛物线 y=2x2-2x-1,∵2>0,∴开口向上,对称轴为: x?? b ?2 1 ?? ? . 2a 2? 2 2 【思路点拨】掌握二次函数的性质,正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键. 【答案】向上, x ? 1 2 (2)抛物线 y=x2-2x+2 的顶点坐标是________. 1 ; 本资源由全国初中数学教师群 173100552 全国初中数学教师②群 344290074 群 内一线教师提供,欢迎批评指正! 【知识点】二次函数的性质. 【解题过程】解:将 y=x2-2x+2 配方得 y ? ( x ? 1) 2 ? 1,顶点坐标是(1,1). 【思路点拨】将抛物线的一般式,用配方法转化为顶点式,根据顶点式的坐标特 点,直接写出顶点坐标. 【答案】(1,1) (3)二次函数 y= 1 2 x +2x+1 的最_____值是________. 2 【知识点】二次函数的最值. 【解题过程】解:将 y= 小值是-1. 【思路点拨】把二次函数的解析式整理成顶点式形式,然后确定出最大值. 【答案】小,-1 (4)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列结论:① 4ac<b2;② a+c>b; ③ 2a+b>0.其中正确的有( ) 1 2 1 1 x +2x+1 配方得 y ? ( x ? 2) 2 ?


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  • 人教版九年级数学上册教案:22. 1. 4 二次函
  • 九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2+bx
  • 《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(1)
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