学习大学物理课程,除了掌握基本知识外,更重要的是学习一种科学.

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学习大学物理课程,除了掌握基 本知识外,更重要的是学习一种科学 的思维方法。

正如一个古老的故事所 讲的那样,学生从老师那里得到的, 应该是一个点石成金的 法则,而不 是一堆金子。

1

第一篇 力 学 mechanics

? 力学研究的是物体的机械运动

与物体间的相互作用的关系的 学科。

? 力学是自然科学中发展最早的

经典力学的创始人

Isaac Newton 1642~1727

本篇包括: ? 力学是物理学的一块重要基石, 质点运动学 牛顿运动定律 同时也是许多工程技术科学的 运动的守恒定律 基础。

刚体的转动 2

学科之一。

第一章 质点的运动 movement of particle

? 一切物质都处于永恒的运动之中 ? 运动学是从几何观点来研究和描述物体机 械运动规律的

? 运动状态是用位置、速度、加速度等物理 量来描述的

? 运动学的核心是运动方程

3

§1.1 质点 参考系 运动方程

particle reference system ? 一、质点的概念 ? 1、质点 particle

?

equation of motion

一个只具有质量而没有大小和形状的理想物体,称为质 点。

? 2、理想模型 ideal model

?

建立理想模型是经常采用的一种科学思维方法,根据 所研究问题的性质,突出主要因素,忽略次要因素,使问题 简化但又不失客观真实性的一抽象思维方法;除质点外,还 有刚体、线性弹簧振子、理想气体、点电荷等。

4

? 3、思考题: 地球可否看作质点?为什么?

? 二、确定质点位置的方法

? 1、参考系 reference system

:描述物体运动时被选作参

考的其他物体或物体系,称为“参考系” (reference system) 或“参照系” (frame of reference)。

? 2、确定质点相对于参考系位置的方法

坐标法 Coordinate :选定三维 坐标系OXYZ,用坐标值(x,y,z) 来表示空间一质点 P 的位置。

位矢法 Position Vector :选定 一固定点O,由O点向质点P引一 矢量 (位置矢量,位矢) 自然法 Natural :在已知运动轨 迹上任选一固定点O,规定一正 z z( t )

s

r( t )

P( t )

·

? r

o · ^

z x( t ) ^ x 0

^ y

y( t ) y

5

方向,曲线长度 s 称自然坐标。

x

三、运动学方程

equation of kinematics

z z( t ) r( t ) ^ z x( t ) ^ x 0 坐标法 P( t )

·

1、质点的运动学方程

用以确定在选定的参考系中 质点相对坐标系的位置随时间变 化的数学表达式:

^ y

y( t ) y

x ? x(t ) , y ? y(t ) , z ? z (t ) , x ? ? r ? r (t ) , s ? f (t )

自然法 例如:

? ? 1?2 r ? v0t ? gt 2

位矢法

6

2、运动描述的相对性

relativity of movement description

知道质点运动学方程,就可 以确定任意时刻质点的位置,质

点的运动轨迹以及任意时刻质点

的速度和加速度等。

但同一物体的运动,由于所 选参考系的不同,而有不同的描 述,这一事实称为运动描述的相 对性。

同一运动在 不同参考系中的 运动学方程也不相同。

7

§1.2 位移

displacement

速度

加速度

acceleration

y

velocity

一、位移 displacement

1、位矢 position vector

2、路程 path length

3 、位移:质点在某一段时间内 ? ? ? 位矢的增量. ?r ? rB ? rA z O 4、时间与时刻 time interval and time (instant)

?s ? ?r ? B rA C rB ?r

A x

? ? ? 5、位移(位矢的增量)的大小 ?r ? r ? r B A

6、位矢大小的增量

? ? ?r ? rB ? rA

8

二、速度 velocity

1、平均速度 z P1

average velocity

? ? ?r v? ?t

· Δr r(t) r(t+Δ t )

0 y

·

ΔS

Δr

P2

r( t ) 0

Δr r( t +Δ t )

x

2、瞬时速度 instantaneous velocity

? ? ? ? ? r (t ? ?t ) ? r (t ) ?r dr v ? lim ? lim ? ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t dt

9

3、速度的叠加:superposition of velocity 速度是各分速度之矢量和

? ? ? ? v ? vx i ? v y j ? vz k

y

?

dr dt

? dx ? dy ? dz ? v? i? j? k dt dt dt

4、速率 speed

0

? r

d? r dt

? v

? v? v ?

2 2 2 v x ? v y ? vz

?

5、思考题:

dr dt

dr dr 与 是速率吗? dt dt

有何区别?

10

? 三、加速度

acceleration

? 1、速度的增量 increment of velocity z P1

v (t )

v (t ) P2

·

? ? ? ?v ? vP 2 ? vP1

2、平均加速度

r( t ) 0

·

v ( t +Δ t ) y

Δv v ( t +Δ t )

r(t+Δ t )

?

x

average acceleration

? ? ?v a? ?t

3、瞬时加速度 instantaneous acceleration

? a ? lim

?t ?0

? ? 2? ?v dv d r ? ? 2 ?t dt dt

11

dvx d 2 x ax ? ? 2 dt dt

4、加速度分量 components of acceleration

d y ay ? ? 2 dt dt

dv z d z az ? ? 2 dt dt

2

dv y

2

5、加速度合成 composition of ? a acceleration

?

d v dvx ? dv y ? dvz ? ? ? i? j? k dt dt dt dt

2 ? 2 ? 2 ? 2

?

d r d x d y d z? a ? 2 ? 2 i ? 2 j? 2 k dt dt dt dt

12

6、加速度的大小 magnitude of acceleration

?

a ?

? dv x ? ? dv y 2 2 2 ax ? a y ? az ? ? ? ?? ? dt dt ? ? ?

2 2 2

2

? ? dv z ? ? ? ? ? dt ? ? ? ?

2 2

2

2

direction of acceleration

?d x? ?d y? ?d z? ? ? ? dt 2 ? ? ?? ? dt 2 ? ? ?? ? dt 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

2

7、速度和加速度的方向, 用三个方位角α ,β ,γ

cos ? ?

vx

?

, cos ? ?

vy

?

,cos ? ?

vz

?

z

?

0

v

v

v

? v

?

13

cos ? ? ?

ax

?

, cos ? ? ?

ay

?

, cos ? ? ?

az

?

a

a

a

x ?

y

例题1: Example 1

一人站在崖上, 用绳子通过一滑轮向岸边拉一条 小船, 如图, 假设崖高为h , 拉绳的速率为v0 , 求:船 靠岸的速率 v 和加速度的大小a 。

14

解: Solution

? v0

l h

x

x ?l ?h

2 2

2

dx dl 2 x ? 2l dt dt

dx l dl v? ? ? dt x dt

x ?h v0 x

2 2

dl (v0 ? ) dt

15

dv d l l ? ? x ? x? ? l a? ? ( v0 ) ? v0 2 dt dt x x v0 ? x ? v ? l v0 ? x ? (v0l / x) ? l ? v0 ( ) ? v [ ] 0 2 2 x x 2 2 2 2 x ?l 2 h ? v0 ? ? v0 3 3 x x

Example 2 一物体作直线运动,初速度为零, 初加速度为a0 , 出发后经过时间间隔2秒,加 速度均匀增加a0 , 求经过 t 秒后物体的速度和 离开出发点的距离。

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Solution :加速度: a ? a0 ?

? ?

a0

? ? velocity: a ? d v ? dv ? adt dt

v t t

?

t

(? ? 2 s )

a0 ? a0 2 ? v ? 0 ? ? dv ? ? adt ? ? ? a0 ? t ?dt ? a0t ? t v0 0 0 ? ? 2? ?

dx displacement v ? ? dx ? vdt dt t t? a0 2 ? a0 2 a0 3 x ? 0 ? ? vdt ? ? ? a0t ? t ?dt ? t ? t 0 0 2? ? 2 6? ? Example 3 路灯距地面高h,一人身高l, 在路上以匀

速v0行走,求人影中头顶的移动速度和影子长度增长 17 的速率。

dx ? 已知: v 0 ? dt

y

d ( x ? x?) ?? dt

求:

dx v ? ?? dt

h x

Solution :由几何关系

x h ? x? h? l ,

l x

x’

h x? x? h? l

dx h dx? h ? ? v0 (1)人影头顶移动速度: v ? dt h ? l dt h ? l

(2)影长增长速率:

d ( x ? x?) d h ? ?? ? 1 ?x? dt dt h? l h dx? l ?( ? 1) ? v0 h? l dt h ? l

?

18

§1.3 圆周运动

circular motion

一、圆周运动的速度

1、线速度 linear velocity

v R Δθ θ ΔS ω ,? x

?s ds v ? lim ? ?t ?0 ?t dt ? ? ds ? v ? v? ? ? dt

2、角速度 angular velocity

0

?? d? ? ? lim ? ?t ?0 ?t dt

角速度 ? 的方向: 按 “右旋规则”定

19

?

二、切向加速度和法向加速度 tangential acceleration and normal acceleration 1、用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度

? ? ? ? ? ? ds ? (? ? et , n ? en ) v ? v? ? ? dt ?

? d ? dv ? d? a ? ?v? ? ? ? ? v dt dt dt

? ? d? ? ? d? n ? d? n

d? d? ? Rd ? ? 1 ds ? v ? ? n? n? n? n dt dt Rdt R dt R ?

?

20

? d ? dv ? d? a ? ?v? ? ? ? ? v dt dt dt

?

? dv ? v 2 ? ? ? a ? ? ? n ? a? ? ? an n dt R

在一般平面曲线运动中,曲 率半径 (radius of curvature) R是 变化的,通常用 ? 来表示。

dv v a? ? , an ? dt R ? 2 a ? a ? a?2 ? an

2

2、匀速圆周运动 uniform circular motion

dv v v ?C, ? 0 , a? ? 0 , a ? dt R

2

21

三、 圆周运动的角量描述

1、角速度 angular velocity 2、角加速度 angular acceleration

?? d? ? ? lim ? ?t ?0 ?t dt

?? d? ? ? lim ? ?t ?0 ?t dt

四、 圆周运动中线量和角量 ( linear and angular variables) 之间的关系

1、线速度与角速度 2、切向加速度与角加速度 3、 法向加速度与角速度

v ? R?

(? ?s ? R ? ?? )

a? ? R? 2 v 2 an ? ? v? ? R? R

22

§1.4 曲线运动方程的矢量形式

curvilinear motion 一、 圆周运动方程的矢量形式

vector form of circular motion equation 1、圆周运动方程的分量式 components form

y

y

? ?

R ?

o

x

x

x ? R cos?t ,

y ? R sin ?t ,

z?0

2、圆周运动方程的矢量式 vector form

? ? ? r ? R(cos?t i ? sin ?t j )

3、 轨迹方程 equation of trajectory

x2 ? y 2 ? R2 , z ? 0

23

4、速度分量式 components form of velocity

dx d vx ? ? ( R cos ? t ) ? ? R? sin ? t dt dt dy d vy ? ? ( R sin ? t ) ? R? cos ? t dt dt

v ? v ? v ? R?

2 x 2 y

5、速度矢量式 vector form of velocity

? ? ? ? dr v? ? vx i ? v y j dt ? ? ? R? ?? sin ? t i ? cos? t j ?

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6、加速度分量式 components form of acceleration

vx ? ? R? sin ? t

dv x ax ? ? ? R? 2 cos ? t dt

v y ? R? cos ? t

ay ?

dvy dt

? ? R? 2 sin ? t

? 2 2 a ? a ? ax ? ay ? R? 2

7、加速度矢量式 vector form of acceleration

? ? ? 2 2 a ? (? R? cos? t )i ? ( R? sin ? t ) j ? ? 2 ? ?? ?R cos? t ?i ? ?R sin ? t ? j 2? ? ?? r 25

?

?

二、抛体运动方程的矢量形式

1、运动的迭加原理

一个运动可以看成 几个独立 进行的运动迭加而成。

projectile motion

2、 抛体运动 projectile motion

? ? ? v ? (v0 cos? )i ? (v0 sin ? ? gt) j ? ? v ? dr dt

(1)可将抛体运动分解为沿 x 和 y 两个方向的独立运动。

? v0t

1 ? 2 gt 2

? r

? ? ? t ? t ? 1 2 ? r ? ? v dt ? ? (vx i ? v y j )dt ?(v0t cos ? )i ? (v0t sin ? ? gt ) j 0 0 2

(2)也可将抛体运动分解为沿 初速度方向的匀速直线运动和竖直 方向的自由落体运动的迭加

? ? ? ? 1?2 1 2? r ? v0t ? gt ? (v0 cos ? i ? v0 sin ? j )t ? gt j 2 2

26

例: “枪打落猴问题 ”

枪口小球射出的瞬间,被瞄准的小 球同时自由落下,二球必然相碰。

你知道为什么吗? 在射程内,不论如何改变 二球距离,不论如何改变装置 的仰角,只要瞄准发射,二球 必然相碰: 可用运动叠加性原理解决 The principle of superposition of motion

27

用运动叠加性原理解决

将射球的运动分解为沿x、y两个方向的独立运动。

设在时刻 t 时,射球与目标球在同一垂线上,则

y0 y0 射球: x1 ? v0t cos? ? (? tg? ? ) tg? x1 1 2 1 2 y1 ? v0t sin ? ? gt ? y0 ? gt 2 2 1 2 目标球: y2 ? y0 ? gt 2

比较上式,有

y1 ? y2

可见只要射球不过早落 地,总能碰到目标球。

28

*§1.5

1、伽利略坐标变换

伽利略坐标变换

Galilean position transform

? ? ? r ? R ? r?

x? ? x ? ut y? ? y z? ? z t? ? t

2、速度变换 velocity transform

3、加速度变换 acceleration transform

? ? ? vk ? vk ' ? u

? ? ? ak ? ak ' ? a0

29

本章

? 一、重要概念:

小结

? 1、位矢、位移、速度、加速度等物理量都是矢量。

? 2、上述物理量的大小、方向、分量表达式等。

? 3、切向加速度、法向加速度等概念,角量与线量 的关系。

? 4、矢量“增量的大小”与该矢量“大小的增量”。

? 二、基本规律

? 1、运动描述的相对性。

? 2、运动叠加性原理。

? 3、伽利略坐标变换。

30

? 三、重要公式

? 1、位矢:

? ? ? ? r ? xi ? yj ? zk

? 2、位矢的大小: r ? r ? x2 ? y 2 ? z 2 ? ? ? ? ? ? 3、位移: ?r ? r (t ? ?t ) ? r (t ) ? ?xi ? ?yj ? ?zk

4、速度:

? ? ? ? ? r (t ? ?t ) ? r (t ) ?r dr v ? lim ? lim ? ?t ?0 ?t ?0 ?t ?t dt

? dx ? dy ? dz ? v? i? j? k dt dt dt

? ds ? v? ? dt

? ? ? ? v ? vx i ? v y j ? vz k

31

? ? dr ? 5、速率: v? v ? dt

ds v? dt

? ? ? 2 ? 6、加速度: ? ?v dv d r a ? lim ? ? 2 dt dt ?t ?0 ?t

?

? 2 2 2 v ? v ? vx ? v y ? vz

d v dvx ? dv y ? dvz ? a? ? i? j? k dt dt dt dt

2 ? 2 ? 2 ? 2

?

?

d r d x d y d z? a ? 2 ? 2 i ? 2 j? 2 k dt dt dt dt

32

? 7、加速度的大小

? 2 x

? dv x ? ? dv y ? ? dv z ? ? a ? a ? a ?a ?a ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? dt ? ? dt ? ? dt ?

2 y 2 z 2 2 2 2 2

2

2

2

?d x? ?d y? ?d z? ? ? ? dt 2 ? ? ?? ? dt 2 ? ? ?? ? dt 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

2

? 8、速度和加速度的方向

cos ? ?

vx

?

, cos ? ?

vy

?

,cos ? ?

vz

?

v

v

v

cos ? ? ?

ax

?

, cos ? ? ?

ay

?

, cos ? ? ?

az

?

a

a

a

33

? 9、切向加速度和法向加速度

? dv ? v 2 ? ? ? a ? ? ? n ? a? ? ? an n dt ? 2 dv v a? ? , an ? dt ? ? 2 2 a ? a ? a? ? an

? 10、角速度和角加速度 ?? d? ?? d? ? ? lim ? ? ? lim ? ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t dt dt

v ? R?

v2 2 an ? ? v? ? R? R

a? ? R?

34

? ? ? ? 11、伽利略坐标变换 r ? R ? r ?

? 12、速度变换

? ? ? vk ? vk ' ? u

? ? ? ak ? ak ' ? a0

? 13、加速度变换

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