2011年四川高考理科数学试卷

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2011年四川高考数学卷(理工农医)[附答案]

第Ⅰ卷

本试卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

参考公式:

如果事件互斥,那么 球的表面积公式

其中表示球的半径

如果事件相互独立,那么 球的体积公式

其中表示球的半径

一、选择题:本小题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:

[11.5,15.5) 2 [15.5, 19.5) 4 [19.5, 23.5) 9 [23.5, 27.5) 18

[27.5, 31.5) 11 [31.5, 35.5) 12 [35.5, 39.5) 7 [39.5, 43.5) 3

根据样本的频率分布估计,数据[31.5,43.5)的概率约是

(A) (B) (C) (D)

答案:B 解析:[31.5,43.5)之间的频数为12+7+3=22,总数为66,所以概率为22/66=1/3。故选B。

2.复数=

(A) (B) (C)0 (D)

答案:A。

3.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是

(A)l1⊥l2, l2⊥l3 l1∥l3 (B) l1⊥l2, l2∥l3 l1⊥l3

(C)l1∥l2 ∥l3 l1,l2,l3 共面 (D) l1,l2,l3 共点l1,l2,l3 共面

答案:B; 解析:正方体同一顶点的三条棱两两垂直但都不平行,A错。三棱柱的三条棱相互平行但不共面,C错。正方体同一顶点的三条棱交于同一点但不共面,D错。垂直于一条直线则也必定垂直于其平行线,B正确。

4.如图,正六边形中,

(A)0 (B) (C) (D)

答案:D; 解析: 故选D。

5.函数在点处有定义是在点处连续的

(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件

答案:B; 解析:分段函数中,在点处可以有定义但是不连续;如果处连续则必定有定义。

6.在中,,则的取值范围是

(A)(B) (C) (D)

答案:C 解析:排除法,显然A=时原式不成立,排除BD,经计算当A=时原式成立,故选C。

7. 已知的奇函数,且当时,,则的反函数的图像大致是

答案:A; 解析:依据题意做出当时,的图像,1/2为底数的指数函数再向上平移一个单位,再依据奇函数,关于原点对称,做出原函数图像为B图像,反函数与原函数关于y=x对称,故反函数图像为A。

8.数列{an} 的首项为3,{b n}为等差数列且b n =an+1- an (n∈N+),若b3=-2, b10 =12,则a8=

(A)0 (B)3 (C) 8 (D)11

答案:B; 解析:{b n}为等差数列且b3=-2, b10 =12,则通项公式b n =2n-8;所以an+1- an =2n-8,于是得出关于数列an的递推关系,使用叠加法即可计算出 an =,带入n=8,an =3.故选B。

9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车,某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车需载满且只能送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡需配1名工人;没送一次可得利润350元,该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数,可得最大利润

(A) 4650元 (B)4700元

(C) 4900元 (D)5000元

答案:C; 解析:线性规划问题,做出图像取点计算。计算略。

10.在抛物线y=x2+ax-5(a??≠?0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,经过两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则该抛物线顶点的坐标为:

(A) (-2,-9) (B)(0,-5) (C) (2,-9) (D)(1,6)

答案:A, 解析:x1=-4,x2=2代入y=x2+ax-5 ,得出(2,2a-1),(-4,-4a+11),经过两点的直线斜率为k=a-2,令同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切的直线为y=(a-2)x+b,代入计算得出a=4.所以顶点坐标(-2,-9)。

11.已知定义在[0,+∞?]上的函数满足=,当时, =,设上的最小值为的前n项和为Sn,则

(A)3 (B) (C) 2 (D)

答案:D; 解析:由题意当时有=,代入得出时的解析式。

12.在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a=(a,b)从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作为平行四边形的个数为n,其中面积等于2的平行四边形的个数m,则=

(A) (B) (C) (D)

答案:C; 解析:由题意a=2,4;b=1,3,5; a=(a,b)共有六个向量,画出坐标系标点。六个向量共有种平行四边形情况,其中有6种面积为2,所以= 故选C。

第II卷

注意事项:

1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔画线,确认后在用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.

2.本部分共10小题,共90分。

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.

13.计算÷= .

答案:-20;

14.双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是4,那么点到左准线的距离是 .

答案:16;

15.如图,半径为R的球O中有一内接圆柱。当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________.

答案:2πR2;解析:设圆柱上底面圆半径为r,球半径与上底面夹角为α,则r=R*cosα;圆柱高为2R*sinα,∴圆柱侧面积为:2πR2sin2α,当且仅当α=π/4时sin2α=1时侧面面积最大为2πR2,球的表面积为4πR2,∴面积之差为2πR2。

16.函数的定义域为A,若时总有,则称为单函数。例如,函数是单函数。下列命题:

①函数是单函数;

②若为单函数,,则

③若为单函数,则对于任意,它至多有一个原象;

④函数在某区间上具有单调性,则一定是单函数。其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号)

答案:②③ ;解析:①错,例如当时,,但显然;④错,应该是严格单调。

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三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.(本小题共12分)

如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=A A1=1,D是棱C C1上的一点P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点且P B1∥平面BDA1

(Ⅰ)求证:CD∥C1D;

(Ⅱ)求二面角A- A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离。xkb1.com

21.(本小题共12分)

椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线与椭圆交与C、D两点,并与x轴交于点P。直线AC与直线BD交于点Q。

(Ⅰ)当=时,求直线的方程;

(Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证: 为定值

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2011 年四川高考数学卷(理工农医)[附答案]

第Ⅰ卷

本试卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。

参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

S ? 4πR2

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

如果事件 A,B 相互独立,那么

其中 R 表示球的半径 球的体积公式

V?

4 3 πR 3

P( A B) ? P( A) P( B)

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。

在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5, 15.5) 2 27.5) 18 31.5) 3 11 [31.5, 35.5) 12 [35.5, 39.5) 7 [15.5, 19.5) 4 [19.5, 23.5) 9 [23.5,

[27.5, [39.5, 43.5)

根据样本的频率分布估计,数据[31.5,43.5)的概率约是 (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

答案:B

解析:[31.5,43.5)之间的频数为 12+7+3=22,总数为 66,所以

概率为 22/66=1/3。

故选 B。

1 2.复数 ?i ? = i

(A) ? 2i 答案:A。

1 (B) i 2

(C)0

(D) 2i

3.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是

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(A)l1⊥l2, l2⊥l3 ? l1∥l3 (C)l1∥l2 ∥l3 ? l1,l2,l3 共面 答案:B;

(B) l1⊥l2, l2∥l3 ? l1⊥l3 (D) l1,l2,l3 共点 ? l1,l2,l3 共面

解析:正方体同一顶点的三条棱两两垂直但都不平行,A 错。

三棱柱的三条棱相互平行但不共面,C 错。

正方体同一顶点的三条棱交于同一点 但不共面,D 错。

垂直于一条直线则也必定垂直于其平行线,B 正确。

4.如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF ? (A)0 (B) AD (C) BE (D) CF

答案:D;

解析: BA ? CD ? EF ? BA ? AF ? CB ? CB ? BF ? CF

故选 D。

5.函数 f ( x) 在点 x ? x0 处有定义是 f ( x) 在点 x ? x0 处连续的 (A)充分而不必要的条件 (C)充要条件 答案:B; (B)必要而不充分的条件 (D)既不充分也不必要的条件

解析:分段函数中, f ( x) 在点 x ? x0 处可以有定义但是不连续;

如果 f ( x) 在 x ? x0 处连续则必定有定义。

6.在 ?ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是

? ? (A) (0, ] (B) [ , ? ) 6 6

答案:C

? ? (C) (0, ] (D) [ , ? ) 3 3 ? ? 解析:排除法,显然 A= 时原式不成立,排除 BD,经计算当 A= 时 2 3

原式成立,故选 C。

1 7. 已知 f ( x) 是 R 的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 ,则 f ( x) 的反函数的 2

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图像大致是

1 答案:A; 解析:依据题意做出当 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 的图像,1/2 为 2

底数的指数函数再向上平移一个单位,再依据 f ( x) 是 R 奇函数,关于原点对称, 做出原函数图像为 B 图像,反函数与原函数关于 y=x 对称,故反函数图像为 A。

8.数列{an} 的首项为 3,{b n}为等差数列且 b n =an+1- an (n∈N ),若

+

b3=-2, b10 =12,则 a8= (A)0

答案:B;

(B)3

(C) 8

(D)11

解析:{b n}为等差数列且 b3=-2, b10 =12,则通项公式 b n =2n-8;所以

an+1- an =2n-8 ,于是得出关于数列 an 的递推关系,使用叠加法即可计算出 an = n2 ? 9n ? 11 ,带入 n=8,an =3.故选 B。

9.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车,某天需送往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆 车需载满且只能送一次, 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆乙型卡需配 1 名工人;没送一次可得利润 350 元,该公司合 理计划当天派用甲乙卡车的车辆数,可得最大利润 (A) 4650 元 (C) 4900 元 (B)4700 元 (D)5000 元

答案:C;

解析:线性规划问题,做出图像取点计算。

计算略。

10.在抛物线 y=x2+ax-5(a

0)上取横坐标为 x1=-4,x2=2 的两点, 经过两点

引一条割线, 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切,则

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该抛物线顶点的坐标为: (A) (-2,-9) (B)(0,-5) (C) (2,-9) (D)(1,6)

答案:A, 解析:x1=-4,x2=2 代入 y=x2+ax-5 ,得出(2,2a-1) , (-4,-4a+11) , 经过两点的直线斜率为 k=a-2, 令同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切的直线为 y= (a-2)x+b,代入计算得出 a=4.所以顶点坐标(-2,-9)。

11.已知定义在[0,+∞

]上的函数 f ( x) 满足 f ( x) = 3 f ( x ? 2) ,当 x ? [0, 2) 时,

f ( x) = ? x2 ? 2 x ,设 f ( x) 在 [2n ? 2, 2n) 上的最小值为 an (n ?[0, N ? ) 且 ?an ? 的前 n

项和为 Sn,则 lim S n ?

x ??

(A)3

(B)

5 2

(C) 2

(D)

3 2

x ? [0, 2) 时有 f ( x) = 3 f ( x ? 2) , 答案: D; 解析: 由题意当 x ? [0, 2) 时 x ? 2 ? [2, 4) ,

代入得出 x ? [2, 4) 时的解析式。

12.在集合 ?1,2,3,4,5? 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 a=(a,b)从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边 形, 记所有作为平行四边形的个数为 n,其中面积等于 2 的平行四边形的个数 m, 则

m = n 4 15

(A)

(B)

1 3

(C)

2 5

(D)

2 3

答案:C;

解析:由题意 a=2,4;b=1,3,5; a=(a,b)共有六个向量,画出坐

2 标系标点。

六个向量共有 C6 ? 15 种平行四边形情况,其中有 6 种面积为 2,所以

m 6 2 = ? 故选 C。

n 15 5

第 II 卷

注意事项: 1.考生须用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作 答.作图题可先用铅笔画线, 确认后在用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试

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题卷上无效. 2.本部分共 10 小题,共 90 分。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

1 ? 1 13.计算 (lg ? lg 25) ÷ 100 2 = 4

.

答案:-20; 14.双曲线 的距离是 答案:16; 15.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱。

当圆柱的侧面积最大时,球的表 面积与该圆柱的侧面积之差是_________.

x y ? ? 1 上一点 p 到双曲线右焦点的距离是 4,那么点 p 到左准线 64 56

.

答案:2πR?;解析:设圆柱上底面圆半径为 r,球半径与上底面夹角为α ,则 r=R*cosα ;圆柱高为 2R*sinα ,∴圆柱侧面积为:2πR?sin2α

,当且仅

当α =π /4 时 sin2α =1 时侧面面积最大为 2πR?,球的表面积为 4πR?,∴面积之差为 2πR?。

16.函数 f ? x ? 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 时总有 x1 ? x2 ,则称

f ? x ? 为单函数。

例如,函数 f ? x ? ? 2x ? 1? x ? R ? 是单函数。

下列命题:

①函数 f ? x ? ? x2 ? x ? R? 是单函数; ②若 f ? x ? 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ;

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③若 f : A ? B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; ④函数 f ? x ? 在某区间上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数。

其中的真命题是 _________.(写出所有真命题的编号) 答案:②③

;解析:①错,例如当 x1 ? 1 , x2 ? ?1时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,但显

然 x1 ? x2 ;④错,应该是严格单调。

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三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。

7 3 17.(本小题12分)已知函数f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ),x ? R. 4 4 (I)求f ( x)的最小正周期和最值;

4 4 ? (II)已知 cos( ? ? ? ) ? , cos( ? ? ? ) ? ? , 0 ? ? ? ? ? . 5 5 2 求证: ? f (? )? ? 2 ? 0.

2

18. (本小题12分)本着健康低碳的生活理念,租自行车的人越来越多。

某地自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过2小时免费, 超过2小时的按没小时2元收费(不足1小时的部分按1小时计算).有 甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙 1 1 不超过2小时归还的概率分别为 , ; 2小时以上且不超过3小时的概率分 4 2 1 1 别为 , ;两人租车时间都不会超过4小时. 2 4 (I)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (II)设甲、乙两人所付租车费用之和为随机变量?,求?的分布列及数 学期望E? .

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19.(本小题共 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=A A1=1,D 是棱 C C1 上的 一点 P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点且 P B1 ∥平面 BDA1 (Ⅰ)求证:CD∥C1D; (Ⅱ)求二面角 A- A1D-B 的平面角的余弦值; (Ⅲ)求点 C 到平面 B1DP 的距离。

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20. (本小题共12分) 设d为非零实数,an ? 1? n k k? kC d ? (n ? N * ). ? n ? n ? k ?1 ?

(I)写出a1,a2,a3;并判断{an }是否为等比数列,若是,给出证明,若 不是,说明理由; (II)设bn ? ndan (n ? N * ),求数列{bn }前n项的和Sn .

21.(本小题共 12 分) 椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交与 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P。

直线 AC 与直线 BD 交 于点 Q。

(Ⅰ)当 CD =

3 2 时,求直线 l 的方程; 2

(Ⅱ)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: 为定值

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22. (本小题满分14分) 2 1 已知函数f ( x) ? x ? ,h( x) ? x . 3 2 (I)设函数F ( x) ? f ( x) ? h( x),求F ( x)的单调区间与极值; 3? ?3 (II)设a ? R,解关于x的方程 log 4 ? f ( x ? 1) ? ? ? log 2 h(a ? x) ? log 2 h(4 ? x); 4? ?2 100 1 (III)试比较f (100) ? h(100) ? ? h(k )与 的大小. 6 k ?1

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