第五章作业

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(第五章作业图1)


(第五章作业图2)


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(第五章作业图5)


(第五章作业图6)


(第五章作业图7)


(第五章作业图8)


(第五章作业图9)


(第五章作业图10)


(第五章作业图11)


(第五章作业图12)


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(第五章作业图15)


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(第五章作业图19)


(第五章作业图20)


(第五章作业图21)


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(第五章作业图23)


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(第五章作业图26)

因转码可能存在排版等问题,敬请谅解!以下文字仅供您参考:

1

2

3

4

5

6

7

8

7 : 质量为m,电荷为 ? e的电子以圆轨道绕氢核旋转,其初动能为

2 3 32? 0 E K EK。

证明电子的旋转频率满足:? 2 ? ,其中? 0是真空电容 4 me 率,电子的运动可视为遵守经典力学定律。

解:电子与氢核之间的电场力扮演向心力角色使得电子绕核旋转。

mv 2 e2 e2 mv 2 e2 ? ? mv 2 ? ? 电子动能E K ? ? 2 r 4?? 0 r 4?? 0 r 2 8?? 0 r e2 v2 ? ,r ? 4?? 0 mr 8?? 0 EK 电子旋转的角速度为?,由线量与角量的关系知:v ? ?r v2 e2 ?? 2 ? 2 ? r 4?? 0 mr 3

9

e2

e2 r? 8?? 0 E K v2 e2 ?2 ? 2 ? r 4?? 0 mr 3 2? 电子转一圈用时(即周期):

?

1 ? 单位时间( 秒)内电子转过的圈数(即频率):? ? 1 ? 2? 2?

?

? ? ? ?

?2 1 e2 1 2 于是:? ? ? ? ? ? 2 2 3 2 4? 4? 4?? 0 mr 4?

1

3

e2 ? e 4?? 0 m? ? 8?? E 0 K ?

2 3

3 3 2 3 e 2 ?8?? 0 E K ? 512? 3? 0 e 2 E K 32? 0 E K ? ? ? ? 2 6 3 6 4? 4?? 0 me 16? ? 0 me me 4

10

10 : 一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电荷面密度为?,求 球心处电场强度的大小 。

y

R

将半球面视为由 许多圆环拼成。

y

Rd?

o

y

? ? dE

o

R

x

x ? R sin ? y ? R cos? dl ? Rd?

?

dl

x

dq ? ?

dq ? ? ? 2?ydl ? ? ? 2?R cos ? ? Rd?

x x

x

xdq R sin ?dq dE ? ? 2 2 32 4??0 R 3 4??0 ( y ? x ) R sin ? ? ? 2?R cos ? ? Rd ? ? cos ? sin ? ? ? 11 d? 3 4??0 R 2? 0

y

? ? dE

o

R

dl

(3)

? dE的大小,方向?

x x

x

xdq dE ? 2 2 32 4??0 ( y ? x ) R sin ?dq ? cos? sin ? ? ? d? 3 4??0 R 2? 0

沿

? x 方向 。

(4) 能不能由 dE 直接积分? 积分限如何确定? ? 因为各圆环在o 点处 dE 同向, 可直接积分 。

E0 ? ? dE ? ?

?

2

0

? cos ? sin ? ? 沿 ? x 方向 。

d? ? 2? 0 4? 0 12

18:如图所示,一无限大均匀带电薄平板,电荷面密度为?。

在平板 中部有一个半径为r的小圆孔。

求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一 点P的电场强度。

解:补偿法,在圆孔处补充密度与平板一致 的同性与异性电荷,这样,P点的场强就变成 密度为 ? ?的圆盘的电场的叠加。

了一密度为?的无限大带电平板与一半径为r、

r

x

p

无限大带电平板在P点产生的场强大小: E1 ?

? ?0

? 2? 0

? ? ? ?

半径为r的带电圆盘在其轴线上P点的场强大小:

? ? x ?1 ? E2 ? 2? 0 ? x2 ? r 2 ?

13

? 无限大带电平板在P点产生的场强大小:E1 ? 2? 0

半径为r的带电圆盘在其轴线上P点的场强大小:

? ? x ?1 ? E2 ? 2? 0 ? x2 ? r 2 ?

? ? ? ?

?? ?i ? ?

r

? ? E2 p E1

x

考虑方向,则P点的总场强: ? ? ? ? ? ? ? x ?1 ? E ? E1 ? E2 ? i? 2? 0 2? 0 ? x2 ? r 2 ? ? ? x ? i 2 2 2? 0 x ? r

? ?0

若P点位于圆孔中心,则x ? 0 ? E ? 0;

若P点与平板相距很远, ? ? ? ? ? ? ? x 1 x ?? r,则E ? i ? i ? i 2 2 2 2? 0 x ? r 2? 0 2? 0 r 1? 2 14 x

20 : 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,总电荷为Q1,球壳 电场强度是否为离球心距离r的连续函数?试分析。

外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面,球面电荷为Q2。

求电场分布。

解:整个电荷分布具有球对称性, 则电场分布也应该具有球对称性: 作同心Gauss面,同一个Gauss面 上的场强大小相等,方向沿径向。

由于对称性决定了电通量 ? ? ? e ? ?? E ? dS ? E ? 4?r 2

S

全空间分为四个区域来分析,则 应作4个区域的Gauss面,如图。

不特殊说明,均作正电荷处理。

15

( )r ? R1 : 1 ? ? 1 E1 ? dS ? E1 ? 4?r 2 ? ??

S

?0

?q

?0

E1 ? 0

(2)R1 ? r ? R2 : ? ? 1 E2 ? dS ? E2 ? 4?r 2 ? ??

S

?0

?q

? q内 ?

分别在4个区域作同心Gauss面, 无论Gauss面在哪一个区域,对 称性决定了电通量总满足: ? ? ? e ? ?? E ? dS ? E ? 4?r 2

S

4 ?4 ? ? ? ?r 3 ? ?R13 ? 4 3 4 3 ?3 3 ? ?R2 ? ?R1 3 3 Q1

r为Gauss面半径,也是所考察的 位置到球心的距离。

4 Q1 ? ? r 3 ? R13 Q r 3 ? R 3 1 1 3 ? ? 3 4 R2 ? R13 3 3 ? R2 ? R1 3 Q1 r 3 ? R13 E2 ? 3 4?? 0 R2 ? R13 r 2

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

16

(3)R2 ? r ? R3 : ? ? 1 2 ?? E3 ? dS ? E3 ? 4?r ?

S

?0

?q

?

Q1

?0

E3 ?

4?? 0 r 2 Q1 ? Q2

Q1

(4)r ? R3 : ? ? 1 2 ?? E4 ? dS ? E4 ? 4?r ?

E

S

?0

?q

?

?0

E4 ?

Q1 ? Q2 4?? 0 r 2

R1

R2

R3

r

17

21 : 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别 为R1和R2 R1 ? R2),单位长度上的电荷为?。

求离轴线为r处 ( 的电场强度:()r ? R1;

(2)R1 ? r ? R2;

(3)r ? R2。

1

解:电荷分布具有轴对称,作同轴的封闭圆柱面 作Gauss面,该Gauss面的底面半径为r,高度范围

l -

+ + + +

R1

R2

l。

全空间分为3个区域来讨论,由于对称性决定了: ? ? ? ? ? ? ? ? ?? E ? dS ? ?? E ? dS ? ?? E ? dS ? ?? E ? dS ? ? ? ?? E ? dS ? E ? 2?rl

侧 S 上 下 侧

(1 r ? R1 ) ? ? ? ? ?? E1 ? dS ? ?? E1 ? dS ? E1 ? 2?rl

S 侧

R1

R2

?q ?

?0

? 0 ? E1 ? 0

18 俯视图

(2)R1 ? r ? R2 ? ? ? ? ?? E2 ? dS ? ?? E2 ? dS ? E2 ? 2?rl ?

S 侧

?q

?0

?l ? ? q内 ? ?l ? E2 ? 2?? rl ? 2?? r 0 0

R1

R2

(3)r ? R2 ? ? ? ? ?? E3 ? dS ? ?? E3 ? dS ? E3 ? 2?rl ?

S 侧

?q

?0

?

?l ? ?l ?0 ?0

俯视图

E3 ? 0

E

19

R1

R2

r

? 23 :已知均匀带电直线附近的电场强度近似为E ?

? ? er , 其中 2?? 0 r

?为电荷线密度.(1)求在r ? r1和r ? r2两点间的电势差; (2)在点电荷

的电场中, 我们曾取r ? ?处的电势为零, 求均匀带电直线附近的 电势时能否这样取? 试说明.

解:选择如图的积分路线 : U P1P2

Q

? ? Q ? ? P2 ? ? ? U P1 ? U P2 ? ? E ? dl ? ? E ? dl ? ? E ? dl

P2 P 1 P 1 Q P2

r1

P1

? ? P2 ? ? P2 ? ? ?er ? dl ?r ? dl ?r ? dr 0 ? ? Edl cos 90 ? ? ?? ?? 2 2?? 0 r Q 2?? 0 r 2?? 0 r 2 P Q Q 1

P2

?rdr ?dr ? r2 ?? ?? ? ln 2 2?? 0 r 2?? 0 r 2?? 0 r1 r r

r2 r2

1 1

Q r2

20

? 无限长均匀带电直线的场强分布为E ?

? ?r , 2 2?? 0 r

? ? E的方向与带电直线垂直,大小为 。

2?? 0 r ( )若以U ? ? 0,选择沿r方向的直线至无穷为积 1 ? ? ? ? ? ? ?r ? dr ? ?rdr 分路径:则U P ? ? E ? dr ? ? ?? ? 2 2 2?? 0 r 2?? 0 r r r r

?

其中ln ? ? lim ?ln r ? ? ??(广义积分)

(2)若取U r ?0 ? 0,

0

? ? ? 2?? 0 r dr ? 2?? 0 ?ln ? ? ln r ? ? ??, r

r ? ??

? ? 0 ? ? 0 ?r ? dr 0 ?rdr ?dr ? ?ln 0 ? ln r ? 则U P ? ? E ? dr ? ? ?? ?? ? 2 2 2?? 0 r 2?? 0 r 2?? 0 r 2?? 0 r r r r ? ?? 其中ln 0 ? lim ?ln r ? ? ??(广义积分)

r ?0

21

显然,如果以无穷远或以带电直线本身为电势 取离带电直线距离为r0的P0点做为电势零点。

零点都将使电势计算失去意义。

所以,我们选

我们选取离带电直线距离为r0的P0点做 为电势零点。

积分线路选如图所示的折 线P — P / — P0,于是P点电势为: ? ? ? ? P0 ? ? U ? ? E ? dl ? ? E ? dl ? ? E ? d l

P P0 P P/ 零势点 P/

? ? ? ? r0 ?r ? dr r0 ? r0 ? ? 0 ? ? E ? dr ? ? ?? dr ? ln 2 2?? 0 r 2?? 0 r 2?? 0 r r r P/

若取r0 ? 1m,由于 ln 1 ? 0,计算将最简便: r0 ? U? ln 2?? 0 r

r0 ?1

? ?? ln r 2?? 0

22

27 : 两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2,求 差为多少?

( )各区域电势的分布,并画出分布曲线;

( )两球面上的电势 1 2

Q1 Q2

R1

R2

利用电势叠加原理, 对半径为R、带电为Q的球面, 其电势分布公式为: ? Q ? 4?? R ,(r ? R) ? 0 U ?? Q ? ,(r ? R) ? 4?? 0 r ?

23

Q1 Q2

R1

R2

Q1 ? Q2

对半径为R、带电为Q的球面: ? Q ? 4?? R ,(r ? R) ? 0 U ?? Q ? ,(r ? R) ? 4?? 0 r ?

r ? R1 : U1 ?

4?? 0 R1

4?? 0 R2

? Q2

U

R1 ? r ? R2 : U 2 ? Q1

4?? 0 r ?

Q1

4?? 0 R2 ? Q1 ? Q2 4?? 0 r

r ? R2 : U 3 ?

4?? 0 r 4?? 0 r 两球面之间的电势差:

Q2

R1

R2

r

24

? Q1 Q2 ? Q1 ? Q2 Q1 Q1 ?? ?U ? U R1 ? U R2 ? ? ? ? ? ? 4?? R 4?? R ? 4?? R 4?? 0 R1 4?? 0 R2 0 1 0 2 ? 0 2 ?

30 : 两根同长的同轴圆柱面(R1 ? 0.03m,R2 ? 0.1m),带有等量异号 的电荷,两者的电势差为450V。

求( )圆柱面单位长度上带有多少电荷? 1 (2)r ? 0.05 m处的电场强度。

R1 ? r ? R2

R2

l -

? ? ? ? ?? E ? dS ? ?? E ? dS ? E ? 2?rh ?

?q

?0

R1

+ + + +

S

R1

R2

? q内 ? ?h ? E ?

?h ? ? 2?? 0 rh 2?? 0 r ? ? ? ? ?r E? er ? 2?? 0 r 2?? 0 r 2

R2 R2

h S

r

? ? R2 ? ? ?r ? dr ?rdr ( )U12 ? ? E ? dl ? ? 1 ?? 2?? 0 r 2 R1 2?? 0 r 2 R1 R1

r

R1

25 俯视图

?dr ? R2 ?? ? ln 2?? 0 r 2?? 0 R1 R

R2

1

R2

? R1 ? r ? R2 : E ?

? ? ?r er ? 2?? 0 r 2?? 0 r 2

?

l -

+ + + +

R1

R2

? R2 ( )U12 ? 1 ln 2?? 0 R1

??

2?? 0U12 4?? 0 ?? ? ? ?? R ln 2 R1

1 ?9?109 ? SI ?

??

450 0.1 2 ? 9 ?10 ? ln 0.03

9

? 2.1? 10 ?8 ?C / m ?

(2) R1 ? r ? 0.05m ? R2 : 2?? 0U12 ? 1 U12 450 E? ? ? ? ? ? 7475 ?V / m ? R 0.1 2?? 0 r 2?? 0 r ln R2 r ln 2 0.05 ? ln R1 R1 0.03

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