江苏省南京物理竞赛讲义-10.6光学例题

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10.6费马原理 光学例题

费马原理:

光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下,此极值为极小值。

i i i

x t t v ==∑∑ i i

c n v = 可得:i i n x t c

=∑ 我们定义折射率与路径长的乘积为光程,用l 表示,l nx =,于是,费马原理又可表述为:光线在两点之间的实际路径,是使光程为极值的路径.

例1、如图所示,湖中有一小岛A ,A 与直

湖岸的距离为d ,湖岸边的一点B ,B 沿湖岸方

向与A 点的距离为l ,一人自A 点出发,要到达B 点。已知他在水中游泳的速度为v 1,在岸上走的速度为v 2,且v 1【解析】根据费马原理,若要人由A 到B 的时间最短,则所走路径应类似于光线所走路径.

这时的水和岸相当于介质,折射率分别为n 1、n 2.设最短时间为如图所示路径.则等效光线由水到岸满足下式:

1221

sin sin 90v n C v n == 12

sin v i v =

l

这时的C 实际上为光线发生全反射的临界角.

所以,我们不难得到:

当tan l d C >时,人所走的路径为如图所示的路径.即沿着和垂直于岸的方向成C 的角度游向岸边再在岸上走至B 点.

当tan l d C ≤时,人由A 直接游到B 点.

【点评】本题若从运动学角度分析,也可以作出解答,但比较麻烦.

例1. 一曲率半径R=60cm 的凹面镜水平放置,使其凹面向上,并在其中装满水,水的折射率为43

n =,假如装满水后水的的深度比半径R 小得多,试问平行光束成像于何处?

【解析】法一:直接用折射定律和反射定律来做,未装水时,平行光束经镜面反射后通过焦点F ′,它离开镜面顶点的距离为30cm,若装有水,当α、β为小角度,由图可知:

图16- 1

2tan sin a a f R

αα=== tan sin a f ββ==

,由折射定律:

sin sin 2R n f

βα== 22.52R f cm n

== 法二:用逐次成像法,物体先经过平面折射成像:

11

s s -= 再经球面反射成像:

22112's s R

+=- 由于是水很浅,所以:

21's s =

令1s →∞可得:2'2

R s =-

再经平面折射:

33

10'n s s -= 32's s = 3''22.52R f s cm n

d 26.如图所示,在焦距f=0.15m 的凸透镜L 主轴上有一小光源S ,凸透镜L 另一侧有两个反射面相向放置的平面镜OM 1和OM 2.平面镜OM 1和OM 2彼此垂直,且与透镜L 主轴成450,两平面镜的交线与透镜主轴垂直.已知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=O.9m ,透镜到两平面镜的交线距离O 1O=O.3m ,试求:

(1)小光源S 在透镜主轴上共成多少个像?

(2)小光源S 在透镜主轴外共成多少个像?

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10.6 费马原理 光学例题 费马原理: 光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。 在大部分情况 下,此极值为极小值。 t ? ? ti ? ? xi vi ni ? c vi 可得: t ? ? ni xi c 我们定义折射率与路径长的乘积为光程,用 l 表示, l ? nx ,于是,费马原理又可 表述为:光线在两点之间的实际路径,是使光程为极值的路径. 例 1、如图所示,湖中有一小岛 A,A 与直 湖岸的距离为 d,湖岸边的一点 B,B 沿湖岸方 向与 A 点的距离为 l,一人自 A 点出发,要到达 B B l N C N′ d A 点。已知他在水中游泳的速度为 v1,在岸上走的速度为 v2,且 v1<v2,要求他由 A 至 B 所用的时间最短,此人当如何先择其运动的路线? 【解析】 根据费马原理,若要人由 A 到 B 的时间最短,则所走路径应类似于光 线所走路径. 这时的水和岸相当于介质,折射率分别为 n1、 n2.设最短时间为如图所示路径. 则等效光线由水到岸满足下式: v1 n sin C ? ? 2 v2 sin 90 n1 sin i ? v1 v2 这时的 C 实际上为光线发生全反射的临界角. 所以,我们不难得到: 当 l ? d tan C 时,人所走的路径为如图所示的路径.即沿着和垂直于岸的方向成 C 的角度游向岸边再在岸上走至 B 点. 当 l ? d tan C 时,人由 A 直接游到 B 点. 【点评】本题若从运动学角度分析,也可以作出解答,但比较麻烦. 例1. 一曲率半径 R=60cm 的凹面镜水平放置,使其凹面向上,并在其中装满 水,水的折射率为 n ? ,假如装满水后水的的深度比半径 R 小得多,试问平行 光束成像于何处? 【解析】 法一:直接用折射定律和反射定律来做,未装水时,平行光束经镜面反 射后通过焦点 F′,它离开镜面顶点的距离为 30cm,若装有水,当 α、β 为小角度,由 图可知: 4 3 F α β F′ a 图 16- 1 tan ? ? sin ? ? a 2a ? f R a ,由折射定律: f tan ? ? sin ? ? n? sin ? R ? sin ? 2 f f ? R ? 22.5cm 2n 法二:用逐次成像法,物体先经过平面折射成像: n 1 ? ?0 s1 ' s1 再经球面反射成像: 1 1 2 ? ? s2 ' s2 ? R 由于是水很浅,所以: s2 ? s1 ' 令 s1 ? ? 可得: s2 ' ? ? 再经平面折射: 1 n ? ?0 s3 ' s3 s3 ? s2 ' R 2 f ' ? s3 ' ? ? R ? ?22.5cm d 2n 26.如图所示,在焦距 f=0.15m 的凸透镜 L 主轴上有一小光源 S,凸透镜 L 另一侧有两个反射面相向放置的平面镜 OM1 和 OM2.平面镜 OM1 和 OM2 彼此 垂直,且与透镜 L 主轴成 450,两平面镜的交线与透镜主轴垂直.已知小光源中 心到两平面镜的交线距离 SO=O.9m,透镜到两平面镜的交线距离 O1O=O.3m, 试求: (1)小光源 S 在透镜主轴上共成多少个像? (2)小光源 S 在透镜主轴外共成多少个像? 分别指出像的虚实、位置及放大率. 由折射率为 n=1.5 的玻璃制成的对称的双凸透镜,在空气中焦距为 30cm (1)把它放在平面镜上形成一个折、反射系统,该系统的焦距为多少? (2)在透镜和平面镜之间注满水,水


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