2011届高三一轮测试(理)8

来源:互联网 由 时列会下 贡献 责任编辑:李志  

圆锥曲线方程

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【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答,共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.双曲线=1的焦点坐标为

(  )

A.(-,0)、(,0)    B.(0,-)、(0,)

C.(-5,0)、(5,0) D.(0,-5)、(0,5)

2.若拋物线y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为4,则其焦点坐标为

(  )

A.(4,0) B.(2,0)

C.(0,2) D.(1,0)

3.已知双曲线=1的离心率为e,拋物线x=2py2的焦点为(e,0),则p的值为(  )

A.2 B.1

C. D.

4.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2,线段P1P2的中点为P.设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2等于

(  )

A.-2 B.2

C. D.-

5.若点P(2,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为

(  )

A. B.

C.2 D.2

6.椭圆=1(a>0,b>0)的离心率为,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k的值为

(  )

A. B.±

C. D.±

7.如图所示,设椭圆=1(a>b>0)的面积为abπ,过坐标原点的直线l、x轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s、t,则s关于t的函数图象大致形状为图中的

(  )

8.椭圆=1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点M满足|M|=1,·=0,则|M|的最小值为

(  )

A.3 B.

C.2 D.

9.两个正数a,b的等差中项是5,等比中项是4.若a>b,则双曲线=1的渐近线方程是

(  )

A.y=±2x B.y=±x

C.y=±x D.y=±2x

10.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上.若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为

(  )

A. B.3

C. D.

11.直线l过抛物线C∶y2=2px(p>0)的焦点F,且交抛物线C于A,B两点,分别从A,B两点向抛物线的准线引垂线,垂足分别为A1,B1,则∠A1FB1是

(  )

A.锐角 B.直角

C.钝角 D.直角或钝角

12.已知点F为双曲线=1的右焦点,M是双曲线右支上一动点,定点A的坐标是(5,1),则4|MF|+5|MA|的最小值为

(  )

A.12 B.20

C.9 D.16

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

题 号

第Ⅰ卷

第Ⅱ卷

总 分

17

18

19

20

21

22

得 分

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)

13.已知点F(1,0),直线l:x=-1,点P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程是________.

14.以双曲线=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是____________.

15.椭圆=1(a>b>0)的两个焦点是F1(-c,0)、F2(c,0),M是椭圆上一点,且F1M·=0,则离心率e的取值范围是________.

16.给出如下四个命题:

①方程x2+y2-2x+1=0表示的图形是圆;

②若椭圆的离心率为,则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形;

③抛物线x=2y2的焦点坐标为

④双曲线=1的渐近线方程为y=±x.

其中正确命题的序号是________.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上.双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2.求椭圆及双曲线的方程.

18.(本小题满分12分)若一动点M与定直线l:x=及定点A(5,0)的距离比是4∶5.

(1)求动点M的轨迹C的方程;

(2)设所求轨迹C上有点P与两定点A和B(-5,0)的连线互相垂直,求|PA|·|PB|的值.

19.(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=.

(1)求抛物线的方程;

(2)在x轴上是否存在一点C,使△ABC为正三角形?若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分12分)如图,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且·=·.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知=λ1,=λ2,求λ1+λ2的值.

21.(本小题满分12分)如图所示,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的3倍且经过点M(3,1).平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0),且交椭圆于A,B两不同点.

(1)求椭圆的方程;

(2)求m的取值范围;

22.(本小题满分12分)已知双曲线2x2-2y2=1的两个焦点为F1,F2,P为动点,若|PF1|+|PF2|=4.

(1)求动点P的轨迹E的方程;

(2)求cos∠F1PF2的最小值.

答案:

一、选择题

1.C c2=a2+b2=16+9=25,c=5.

2.B 根据p的几何意义可知p=4,故焦点为(2,0).

3.D 依题意得e=2,拋物线方程为y2=x,故=2,得p=,选D.

4.D 设直线l的方程为

y=k1(x+2),代入x2+2y2=2,得(1+2k)x2+8kx+8k-2=0,所以x1+x2=-

而y1+y2=k1(x1+x2+4)

,所以OP的斜率k2

=-

所以k1k2=-.

5.A 由于双曲线渐近线方程为bx±ay=0,故点P到直线的距离d=?a=b,即双曲线为等轴双曲线,故其离心率e=.

6.B 由e=得a2=2b2,设交点的纵坐标为y0,则y0=kb,代入椭圆方程得=1,

解得k=±,选B.

7.B 根据椭圆的对称性,知s+t=abπ,因此选B.

8.B 依题意得F(3,0),MF⊥MP,故|M|=,要使|M|最小,则需|P|最小,当P为右顶点时,|P|取最小值2,故|M|的最小值为,选B.

9.B 由已知得? (a>b).故双曲线的渐近线方程为y=±x

=±x(在这里注意a,b与双曲线标准方程中的a,b的区别,易由思维定势而混淆).

10.D 设椭圆短轴的一个端点为M.

由于a=4,b=3,∴c=∴∠F1MF2<90°,

∴只能∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°.

令x=±

y2=9

∴|y|=.

即P到x轴的距离为.

11.B 如图,由抛物线定义可知AA1=AF,故∠1=∠2,又AA1∥x轴,故∠1=∠3,从而∠2=∠3,同理可证得∠4=∠6,故∠A1FB1=∠3+∠6

×π=

故选B.

12.C 由题意可知,a=4,b=3,c=5,

∴e=,右准线方程为x=,且点A在双曲线张口内.

则|MF|=e·d=d(d为点M到右准线的距离).

∴4|MF|+5|MA|

=5(d+|MA|),

当MA垂直于右准线时,

d+|MA|取得最小值,最小值为5-

故4|MF|+5|MA|的最小值为9.

二、填空题

13..【解析】 设点P(x,y)则Q(-1,y),由·=·,得(x+1,0)·(2,-y)

=(x-1,y)·(-2,y),化简得y2=4x.故填y2=4x.

【答案】 y2=4x

14.【解析】 双曲线=1的中心为O(0,0),该双曲线的右焦点为F(3,0),则拋物线的顶点为(0,0),焦点为(3,0),所以p=6,所以拋物线方程是y2=12x.

【答案】 y2=12x

15.【解析】 设点M的坐标为(x,y),则=(x+c,y),=(x-c,y).

由·=0,得

x2-c2+y2=0.①

又由点M在椭圆上,得

y2=b-,代入①,解得

x2=a2-.∵0≤x2≤a2,

∴0≤a2-≤a2,

即0≤≤1,

0≤2-≤1.∵e>0,

解得≤e≤1.又∵e<1,

≤e<1.

【答案】 [,1)

16.【解析】 对①,(x-1)2+y2=0,∴x=1,y=0,

即表示点(1,0).

对②,若e=,则b=c.

∴两焦点与短轴两端点构成正方形.

对③,抛物线方程为y2=x,其焦点坐标为.

对④,双曲线=1的渐近线方程为±=0,

即y=±x.

【答案】 ②③

三、解答题

17.【解析】 设椭圆方程为=1(a>b>0)

则根据题意,双曲线的方程为

=1且满足

解方程组得

∴椭圆的方程为=1,双曲线的方程=1

18.【解析】 (1)设动点M(x,y),

根据题意得

化简得9x2-16y2=144,

=1.

(2)由(1)知轨迹C为双曲线,A、B即为C的两个焦点,

∴|PA|-|PB|=±8.①

又PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=100.②

由②-①2得|PA|·|PB|=18.

19.【解析】 (1)设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),

消去y,

得x2-2(1+p)x+1=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=2(1+p),

x1·x2=1.∵|AB|=

,∴121p2+242p-48=0,

∴p=或-(舍).

∴抛物线的方程为y2=x.

(2)设AB的中点为D,

则D.

假设x轴上存在满足条件的点C(x0,0),∵△ABC为正三角形,

∴CD⊥AB,∴x0=.

∴C,∴|CD|=.

又∵|CD|=|AB|=

故矛盾,∴x轴上不存在点C,使△ABC为正三角形.

20.【解析】 (1)设点P(x,y),则Q(-1,y),由·

=·,得(x+1,0)·(2,-y)

=(x-1,y)·(-2,y),化简得C:y2=4x.

(2)设直线AB的方程为x=my+1(m≠0).设A(x1,y1),B(x2,y2),又M,联立方程组

消去x,得y2-4my-4=0,

Δ=(-4m)2+16>0,

由=λ1,=λ2,得y1+=-λ1y1,y2+

=-λ2y2,整理,得

λ1=-1-

λ2=-1-

∴λ1+λ2=-2-

=-2-·

=-2-·=0.

21.【解析】 (1)设椭圆的方程为=1(a>b>0),

?,所求椭圆的方程为=1

(2)∵直线l∥OM且在y轴上的截距为m,

∴直线l方程为:y=x+m

?2x2+6mx+9m2-18=0

∵直线l交椭圆于A、B两点,

∴Δ=(6m)2-4×2(9m2-18)>0?-2m的取值范围为-222.【解析】 (1)依题意双曲线方程可化为=1,

则|F1F2|=2,

∴|PF1|+|PF2|

=4>|F1F2|=2.

∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,

其方程可设为=1

(a>b>0).

由2a=4,2c=2,

得a=2,c=1,

∴b2=4-1=3.则所求椭圆方程为=1,

故动点P的轨迹E的方程为=1.

(2)设|PF1|=m>0,

|PF2|=n>0,∠F1PF2=θ,

则由m+n=4,|F1F2|=2,

可知在△F1PF2中,

cosθ=

以下内容为系统自动转化的文字版,可能排版等有问题,仅供您参考:

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圆锥曲线方程

————————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题后直 接作答,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) x2 y2 1.双曲线 - =1 的焦点坐标为 16 9 ( ) A.(- 7,0)、( 7,0) B.(0,- 7)、(0, 7) C.(-5,0)、(5,0) D.(0,-5)、(0,5) 2.若拋物线 y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为 4,则其焦点坐标为 ( ) A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(1,0) x2 y2 3.已知双曲线 - =1 的离心率为 e,拋物线 x=2py2 的焦点为(e,0),则 p 的值为( ) 4 12 A.2 B .1 1 1 C. D. 4 16 4. 过点 M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x2+2y2=2 交于 P1, P2, 线段 P1P2 的中点为 P.设直线 l 的斜率为 k1(k1 ≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 等于 ( ) A.-2 B .2 1 1 C. D.- 2 2 2 2 x y 5.若点 P(2,0)到双曲线 2- 2=1 的一条渐近线的距离为 2,则该双曲线的离心率为 a b ( ) A. 2 B. 3 C.2 2 D.2 3 2 2 x y 2 6.椭圆 2+ 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,若直线 y=kx 与椭圆的一个交点的横坐标为 b,则 k 的 a b 2 值为 ( ) 2 2 A. B .± 2 2 1 1 C. D.± 2 2 x2 y2 7.如图所示,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积为 abπ,过坐标原点 的直线 l、x 轴 a b 正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为 s、t,则 s 关于 t 的函数图象大致 形状为图中的 ( )

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x2 y2 8.椭圆 + =1 的右焦点为 F,P 是椭圆上一点,点 M 满足|M|=1,· =0,则|M|的最小值为 25 16 ( A.3 C.2 B. 3 D. 2 )

x2 y2 9.两个正数 a,b 的等差中项是 5,等比中项是 4.若 a>b,则双曲线 - =1 的渐近线方程是 a b ( A.y=± 2x 2 C.y=± x 4 1 B.y=± x 2 D.y=± 2 2x

2 2

)

x y 10.已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上.若 P、F1、F2 是一个直角三角 16 9 形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为 ( ) 9 A. B .3 5 9 7 9 C. D. 7 4 11.直线 l 过抛物线 C∶y2=2px(p>0)的焦点 F,且交抛物线 C 于 A,B 两点,分别从 A,B 两点向抛 物线的准线引垂线,垂足分别为 A1,B1,则∠A1FB1 是 ( ) A.锐角 B.直角 C.钝角 D.直角或钝角 2 2 x y 12. 已知点 F 为双曲线 - =1 的右焦点, M 是双曲线右支上一动点, 定点 A 的坐标是(5,1), 则 4|MF| 16 9 +5|MA|的最小值为 ( ) A.12 B.20 C.9 D.16 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 题 号 得 分 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13. 已知点 F(1,0), 直线 l: x=-1, 点 P 为平面上的动点, 过点 P 作直线 l 的垂线, 垂足为点 Q, 且· =· , 则动点 P 的轨迹 C 的方程是________. x2 y2 14.以双曲线 - =1 的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是____________. 4 5 2 x y2 15.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点是 F1(-c,0)、F2(c,0),M 是椭圆上一点,且 F1M· =0,则离心率 a b e 的取值范围是________. 16.给出如下四个命题: ①方程 x2+y2-2x+1=0 表示的图形是圆; 2 ②若椭圆的离心率为 ,则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形; 2 1 ? ③抛物线 x=2y2 的焦点坐标为? ?8,0?; y2 x2 5 ④双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x. 49 25 7

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第Ⅰ卷

第Ⅱ卷 二 17 18 19 20 21 22

总 分

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其中正确命题的序号是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 4 17.(本小题满分 10 分)已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上.双曲线以椭圆的长轴为 5 实轴,短轴为虚轴,且焦距为 2 34.求椭圆及双曲线的方程.

16 18.(本小题满分 12 分)若一动点 M 与定直线 l:x= 及定点 A(5,0)的距离比是 4∶5. 5 (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设所求轨迹 C 上有点 P 与两定点 A 和 B(-5,0)的连线互相垂直,求|PA|· |PB|的值.

19.(本小题满分 12 分)抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线相 8 6 交于 A、B 两点,且|AB|= . 11 (1)求抛物线的方程; (2)在 x 轴上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形?若存在,求出 C 点的坐标;若不存在,请说明理 由.

20.(本小题满分 12 分)如图,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的 动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且· =· . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 M,已知=λ1,=λ2,求 λ1+λ2 的值.

21.(本小题满分 12 分)如图所示,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 3 倍且经 过点 M(3,1).平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),且交椭圆于 A,B 两不同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围;

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22.(本小题满分 12 分)已知双曲线 2x2-2y2=1 的两个焦点为 F1,F2,P 为动点,若|PF1|+|PF2|=4. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)求 cos∠F1PF2 的最小值.

答案: 一、选择题 1.C c2=a2+b2=16+9=25,c=5. 2.B 根据 p 的几何意义可知 p=4,故焦点为(2,0). 1 1 1 3.D 依题意得 e=2,拋物线方程为 y2= x,故 =2,得 p= ,选 D. 2p 8p 16 4.D 设直线 l 的方程为

2 2 2 y=k1(x+2),代入 x2+2y2=2,得(1+2k2 1)x +8k1x+8k1-2=0,所以 x1+x2=-

, 2 1+2k1

8k2 1

而 y1+y2=k1(x1+x2+4) 4k1 = ,所以 OP 的斜率 k2 2 1+2k1 1 =- , 2 k1 x1+x2 2 1 所以 k1k2=- . 2 = 5.A 由于双曲线渐近线方程为 bx± ay=0,故点 P 到直线的距离 d= 为等轴双曲线,故其离心率 e= c 6.B 由 e= = a =1, 2 解得 k=± ,选 B. 2 1 7.B 根据椭圆的对称性,知 s+t= abπ,因此选 B. 2 8.B 依题意得 F(3,0),MF⊥MP,故|M|= b?2 1+? ?a? = 2. = 2?a=b,即双曲线 a2+b2 2b y1+y2 2

a2-b2 2 b2 k2b2 = 得 a2=2b2,设交点的纵坐标为 y0, 则 y0=kb,代入椭圆方程得 2+ 2 a 2 2b b

→ → |P F |2-|M F |2 =

→ |P F |2-1 ,要使|M|最小,则需|P|

最小,当 P 为右顶点时,|P|取最小值 2,故|M|的最小值为 3,选 B.

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? ? ?a+b=10 ?a=8 9.B 由已知得? ?? (a>b).故双曲线的渐近线方程为 y=± ab = 16 b = 2 ? ? ? ?

10.D 设椭圆短轴的一个端点为 M. 由于 a=4,b=3,∴c= 7<b. ∴∠F1MF2<90° , ∴只能∠PF1F2=90° 或∠PF2F1=90° . 令 x=± 7得 7 92 1- ?= , y2=9? ? 16? 16 9 ∴|y|= . 4 9 即 P 到 x 轴的距离为 . 4

b x a

1 =± x(在这里注意 a,b 与双曲线标准方程中的 a,b 的区别,易由思维定势而混淆). 2

11.B 如图,由抛物线定义可知 AA1=AF,故∠1=∠2,又 AA1∥x 轴,故∠1=∠3,从而∠2=∠3,同理 可证得∠4=∠6,故∠A1FB1=∠3+∠6 1 π = ×π= , 2 2 故选 B.

12.C 由题意可知,a=4,b=3,c=5, 5 16 ∴e= ,右准线方程为 x= ,且点 A 在双曲线张口内. 4 5 5 则|MF|=e· d= d(d 为点 M 到右准线的距离). 4 ∴4|MF|+5|MA| =5(d+|MA|), 当 MA 垂直于右准线时, 16 9 d+|MA|取得最小值,最小值为 5- = , 5 5 故 4|MF|+5|MA|的最小值为 9. 二、填空题 13..【解析】 设点 P(x,y)则 Q(-1,y),由· =· ,得(x+1,0)· (2,-y) =(x-1,y)· (-2,y),化简得 y2=4x.故填 y2=4x. 【答案】 y2=4x x2 y2 14. 【解析】 双曲线 - =1 的中心为 O(0,0), 该双曲线的右焦点为 F(3,0), 则拋物线的顶点为(0,0), 4 5 焦点为(3,0),所以 p=6,所以拋物线方程是 y2=12x. 【答案】 y2=12x

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15. 【解析】 设点 M 的坐标为(x,y),则=(x+c,y),=(x-c,y). 由· =0,得 x2-c2+y2=0.① 又由点 M 在椭圆上,得 b2x2 y2=b- 2 ,代入①,解得 a 2 2 2 2 a b x =a - 2 .∵0≤x2≤a2, c 2 2 2 a b ∴0≤a - 2 ≤a2, c 2c2-a2 即 0≤ ≤1, c2 1 0≤2- 2≤1.∵e>0, e 2 解得 ≤e≤1.又∵e<1, 2 2 ∴ ≤e<1. 2 2 【答案】 [ ,1) 2 16. 【解析】 对①,(x-1)2+y2=0,∴x=1,y=0, 即表示点(1,0). c 2 对②,若 e= = ,则 b=c. a 2 ∴两焦点与短轴两端点构成正方形. 1 ? 1 对③,抛物线方程为 y2= x,其焦点坐标为? ?8,0?. 2 y2 x2 y x 对④,双曲线 - =1 的渐近线方程为 ± =0, 49 25 7 5 7 即 y=± x. 5 【答案】 ②③ 三、解答题 x2 y2 17. 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0) a b 则根据题意,双曲线的方程为 x2 y2 - =1 且满足 a2 b2

? ? ?2

a2-b2 4 = a 5 a2+b2=2 34

2 ? ?a =25 解方程组得? ?b2=9 ?

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程 - =1 25 9 25 9 18. 【解析】 (1)设动点 M(x,y), ?x-16? ? 5? 4 根据题意得 = , 5 ?x-5?2+y2

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化简得 9x2-16y2=144, x2 y2 即 - =1. 16 9 (2)由(1)知轨迹 C 为双曲线,A、B 即为 C 的两个焦点, ∴|PA|-|PB|=± 8.① 又 PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=100.② 由②-①2 得|PA|· |PB|=18. 19. 【解析】 (1)设所求抛物线的方程为 y2=2px(p>0),

2 ? ?y =2px, 由? 消去 y, ?x+y-1=0, ?

得 x2-2(1+p)x+1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=2(1+p), x1· x2=1.∵|AB|= 8 6 , 11

∴ ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 8 6 = ,∴121p2+242p-48=0, 11 2 24 ∴p= 或- (舍). 11 11 4 ∴抛物线的方程为 y2= x. 11 (2)设 AB 的中点为 D, 13 2? 则 D? ?11,-11?. 假设 x 轴上存在满足条件的点 C(x0,0),∵△ABC 为正三角形, 15 ∴CD⊥AB,∴x0= . 11 15 ? 2 2 ∴C? ?11,0?,∴|CD|= 11 . 3 12 2 又∵|CD|= |AB|= , 2 11 故矛盾,∴x 轴上不存在点 C,使△ABC 为正三角形. 20. 【解析】 (1)设点 P(x,y),则 Q(-1,y),由· =· ,得(x+1,0)· (2,-y) =(x-1,y)· (-2,y),化简得 C:y2=4x. 2? (2)设直线 AB 的方程为 x=my+1(m≠0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),又 M? ?-1,-m?,联立方程组

2 ? ?y =4x, ? ?x=my+1, ?

消去 x,得 y2-4my-4=0, Δ=(-4m)2+16>0,

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? ?y1+y2=4m, 故? ? ?y1y2=-4.

2 2 由=λ1,=λ2,得 y1+ =-λ1y1,y2+ m m =-λ2y2,整理,得 2 λ1=-1- , my1 2 λ2=-1- , my2 2 1 1? + ∴λ1+λ2=-2- ? m?y1 y2? 2 y1+y2 =-2- · m y1y2 2 4m =-2- · =0. m -4 x2 y2 21. 【解析】 (1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

? ?a2=18 ?a=3b ? x2 y2 ?9 1 ?? ,所求椭圆的方程为 + =1 18 2 b2=2 2+ 2=1 ? ? ? ?a b

(2)∵直线 l∥OM 且在 y 轴上的截距为 m, 1 ∴直线 l 方程为:y= x+m 3 1 y= x+m 3 由 2 ?2x2+6mx+9m2-18=0 x y2 + =1 18 2

? ? ?

∵直线 l 交椭圆于 A、B 两点, ∴Δ=(6m)2-4×2(9m2-18)>0?-2<m<2 m 的取值范围为-2<m<2,且 m≠0. x2 y2 22. 【解析】 (1)依题意双曲线方程可化为 - =1, 1 1 2 2 则|F1F2|=2, ∴|PF1|+|PF2| =4>|F1F2|=2. ∴点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的椭圆, x2 y2 其方程可设为 2+ 2=1 a b (a>b>0). 由 2a=4,2c=2, 得 a=2,c=1, x2 y2 ∴b2=4-1=3.则所求椭圆方程为 + =1, 4 3

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x2 y2 故动点 P 的轨迹 E 的方程为 + =1. 4 3 (2)设|PF1|=m>0, |PF2|=n>0,∠F1PF2=θ, 则由 m+n=4,|F1F2|=2, 可知在△F1PF2 中, m2+n2-4 cosθ= 2mn

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