2011届高三一轮测试(理)5平面向量

来源:互联网 由 时列会下 贡献 责任编辑:李志  
平面向量

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【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答,共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷

题目要求的)

1.下列命题中不正确的是

( )

A .a ∥b ?|a ·b |=|a |·|b |

B .|a |=a 2

C .a ·b =a ·c ?b =c

D .a ·b ≤|a |·|b |

2.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2c 2=2a 2+2b 2+ab ,则△ABC 是

( )

A .钝角三角形

B .直角三角形

C .锐角三角形

D .等边三角形

3. 若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,给出下列式子:①+=+;②+=+;③-=+.其中正确的有

( )

A .0个

B .1个

C .2个

D .3个

4.已知正三角形ABC 的边长为1,且=a ,=b ,则|a -b |=

( )

A. 3 B .3 C. 2 D .1

5.已知圆O 的半径为a ,A ,B 是其圆周上的两个三等分点,则·=

( )

2 B .-32a 2 C.32a 2 D .-32a 2 6.在△ABC 中,cos 2B >cos 2A 是A >B 的

( )

A .充分而不必要条件

B .必要而不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

7.若函数y =f (2x -1)+1的图象按向量a 平移后的函数解析式为y =f (2x +1)-1,则向量a 等于

( )

A .(1,2)

B .(-1,2)

C .(-1,-2)

-2) 8.在△ABC 中,已知向量=(cos 18°,cos 72°),=(2cos 63°,2cos 27°),则△ABC 的面积等于

( )

A.22

B.24

C.3

2

D. 2 9.已知点A (2,1),B (0,2),C (-2,1),O (0,0).给出下面的结论:①∥;②⊥;③+=;④=-2.其中正确结论的个数是

( )

A .0个

B .1个

C .2个

D .3个

10.已知P 是△ABC 所在平面内的一点,若=λ+,其中λ∈R ,则点P 一定在

( )

A .AC 边所在的直线上

B .B

C 边所在的直线上 C .AB 边所在的直线上

D .△ABC 的内部

11.已知A 、B 、C 三点共线,O 是这条直线外一点,设=a ,=b ,=c ,且存在实数m ,使m a -3b -c =0成立,则点A 分的比为

( )

A .-13

B .-12

C.13

D.12

12.设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),定义一种向量积:a ?b =(a 1,b 1)?(b 1,b 2)=(a 1b 1,a 2b 2).已知m =???

?2,12,n =????π3,0,点P (x ,y )在y =sin x 的图象上运动,点Q 在y =f (x )的图象上运动,且满足=m ?+n (其中O 为坐标原点),则y =f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为

( )

A .2,π

B .2,4π C.12,4π D.12,π 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知点P 分有向线段的比为3,则P 1分的比为______.

14.已知向量a =(1,-3),b =(4,2),若a ⊥(b +λa ),其中λ∈R ,则λ=________.

15.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,已知a 、b 、c 成等比数列,且cos B =3

4

,若·=

3

2

,则a +c =________. 16.设集合D ={平面向量},定义在D 上的映射f ,满足对任意x ∈D ,均有f (x )=λx (λ∈R 且λ≠0).若|a |=|b |且a 、b 不共线,则(f (a )-f (b ))·(a +b )=________;若A (1,2),B (3,6),C (4,8),且f ()=,则λ=________.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知A (-1,0),B (0,2),C (-3,1),且·=5,2=10. (1)求D 点的坐标;

(2)若D 的横坐标小于零,试用,表示

18.(本小题满分12分)设a =(-1,1),b =(4,3),c =(5,-2) (1)求证:a 与b 不共线,并求a 与b 的夹角的余弦值; (2)求c 在a 方向上的投影; (3)求λ1和λ2,使c =λ1a +λ2b .

19.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a +b =5,c =7,且cos

2C +2cos(A +B )=-3

2

.

(1)求角C 的大小; (2)求△ABC 的面积S .

20.(本小题满分12分)在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .

(1)求AB 的值;

(2)求sin ?

???2A -π

4的值.

21.(本小题满分12分)如图,在海岛A 上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P ,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B 处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C 处.

(1)求船的航行速度是每小时多少千米?

(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D 处,问此时船距岛A 有多远?

22.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 在x 轴正半轴上,直线AB 的倾斜角为

4

,|OB |=2,设∠AOB =θ,θ∈????π2,3π2. (1)用θ表示点B 的坐标及|OA |;

(2)若tan θ=-4

3

,求O ·O 的值.

答案:卷(五)

一、选择题

1.C 对于选项C ,当b 、c 不相等且都与a 垂直时,a·b =a·c 也成立,故C 不正确,选C.

2.A ∵2c 2=2a 2+2b 2

+ab ,

∴a 2+b 2-c 2=-1

2ab ,

∴cos C =a 2+b 2

-c 2

2ab

=-14

<0.

则△ABC 是钝角三角形. 故选A.

3.C ①式的等价式是-=-,左边=+,右边=+,不一定相等;②式的等价式是-=-,+=+=成立;③式的等价式是-=+,=成立,故选C.

4.A 由题意知a 与b 的夹角为180°-60°=120°,

∴a ·b =|a ||b |cos120°=-1

2

,

∴|a -b |2=a 2+b 2

-2a ·b =3, ∴|a -b |= 3.

5.B 结合图形易知两向量夹角为5π

6

,且||=a ,||=3a ,

故·=||×||×cos 5π6=-3a

2

2

.

6.C cos 2B >cos 2A ?1-2sin 2B >1-2sin 2A ?sin 2B sin B ?A >B .

7.C 设向量a =(h ,k ), y =f (2x -1)+1

y =f [2(x -h )-1]+1+k =f (2x +1)-1,

所以h =-1,k =-2. 8.A 由已知得 =(cos 18°,cos 72°) =(cos 18°,sin 18°), B =(2cos 63°,2cos 27°) =(2sin 27°,2cos 27°), 故cos , =

=2(cos 18°sin 27°+sin 18°cos 27°)1×2

=cos45°, 故 , =45°,

因此S △=12||×||×sin 135°=2

2

.

9.D ①由于=(-2,1), =(2,-1)?=-

?∥,由共线向量基本定理易知命题正确; ②·=(2,1)·(-2,1)=-3≠0,故命题错误; ③+=(2,1)+(-2,1)=(0,2)=,命题正确;

④=(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),故命题正确,因此正确结论的个数共有3个,故选D. 10.A 由于=λ+ ?+=λ?=λ,

根据共线向量的基本条件, 则C 、P 、A 三点共线,故选A 11.C 由已知得:=a -b , =c -a ,

设a -b =λ(c -a ), 即(λ+1)a -b -λc =0, ∴3b =(3λ+3)a -3λc , 又∵3b =m a -c ,

∴根据平面向量基本定理得3λ=1,即λ=1

3

.故选C.

12.C 设P (x 0,y 0),Q (x ,f (x )), 则由已知得(x ,f (x ))

=?

???2x 0+π3,1

2y 0, 即x =2x 0+π

3,

∴x 0=12x -π6.

f (x )=1

2

y 0,

∴y 0=2f (x ).又y 0=sin x 0,

∴2f (x )=sin ????

π6,

f (x )=1

2sin ????12x -π6. ∴(f (x ))max =1

2

,

T =2π12

=4π.

二、填空题 13.【解析】 ∵P 分有向线段的比为3,∴=3, 如图,

∴=-43

【答案】 -4

3

14.【解析】 ∵a ⊥(b +λa ), ∴a ·(b +λa )=0.

∴(1,-3)(4+λ,2-3λ) =0,

即(4+λ)-3(2-3λ)=0.

解得λ=1

5.

【答案】 1

5

15.【解析】 ∵·=3

2

,

∴ac ·cos B =3

2.

又∵cos B =3

4

,且a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac =2.

由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B ,得 a 2+c 2=b 2

+2ac ·cos B =5.

∴(a +c )2=a 2+c 2

+2ac =5+4=9,即a +c =3. 【答案】 3 16.【解析】 ∵|a |=|b |且a 、b 不共线, ∴(f (a )-f (b ))·(a +b ) =(λa -λb )·(a +b )

=λ(|a |2

2)=0. ∵=(1,2),

∴f ()=λ(1,2),=(2,4), ∴λ=2.

【答案】 0,2 三、解答题 17.【解析】 (1)设D (x ,y ),则=(1,2),=(x +1,y ). ∴·=x +1+2y =5,① 2

=(x +1)2+y 2=10.②

联立①②,解之得????? x =-2,y =3,或?????

x =2,y =1.

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平面向量

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【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内,第Ⅱ卷可在各题 后直接作答,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.下列命题中不正确的是 ( ) A.a∥b?|a· b|=|a|· |b| B.|a|= a2 C.a· b=a· c?b=c D.a· b≤|a|· |b| 2.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC 是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 3. 若 A、B、C、D 是平面内任意四点,给出下列式子:①+=+;②+=+;③-=+.其中正确的 有 ( ) A.0 个 B .1 个 C.2 个 D.3 个 4.已知正三角形 ABC 的边长为 1,且=a,=b,则|a-b|= ( ) A. 3 B.3 C. 2 D.1 5.已知圆 O 的半径为 a,A,B 是其圆周上的两个三等分点,则· = ( ) 3 2 3 2 A. a B.- a 2 2 3 3 C. a2 D.- a2 2 2 6.在△ABC 中,cos 2B>cos 2A 是 A>B 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若函数 y=f(2x-1)+1 的图象按向量 a 平移后的函数解析式为 y=f(2x+1)-1,则向量 a 等于 ( ) A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D (1,-2) 8.在△ABC 中,已知向量=(cos 18° ,cos 72° ),=(2cos 63° ,2cos 27° ),则△ABC 的面积等于 ( ) 2 2 A. B. 2 4 3 C. D. 2 2 9.已知点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论:①∥;②⊥;③+=;④=-2.其中 正确结论的个数是 ( )

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A.0 个 B .1 个 C.2 个 D.3 个 10.已知 P 是△ABC 所在平面内的一点,若=λ+,其中 λ∈R,则点 P 一定在 ( ) A.AC 边所在的直线上 B.BC 边所在的直线上 C.AB 边所在的直线上 D.△ABC 的内部 11.已知 A、B、C 三点共线,O 是这条直线外一点,设=a,=b,=c,且存在实数 m,使 ma-3b -c=0 成立,则点 A 分的比为 ( ) 1 1 A.- B.- 3 2 1 1 C. D. 3 2 1 2, ?, 12. 设 a=(a1, a2), b=(b1, b2), 定义一种向量积: a?b=(a1, b1)?(b1, b2)=(a1b1, a2b2). 已知 m=? ? 2? π ? n=? ?3,0?,点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动,点 Q 在 y=f(x)的图象上运动,且满足=m?+n(其中 O 为 坐标原点),则 y=f(x)的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 ( ) A.2,π B.2,4π 1 1 C. ,4π D. ,π 2 2 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 题 号 得 分 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.已知点 P 分有向线段的比为 3,则 P1 分的比为______. 14.已知向量 a=(1,-3),b=(4,2),若 a⊥(b+λa),其中 λ∈R,则 λ=________. 3 15.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数列,且 cosB= ,若· = 4 3 ,则 a+c=________. 2 16.设集合 D={平面向量},定义在 D 上的映射 f, 满足对任意 x∈D, 均有 f(x)=λx(λ∈R 且 λ≠0).若 |a|=|b|且 a、 b 不共线, 则(f(a)-f(b))· (a+b)=________; 若 A(1,2), B(3,6), C(4,8), 且 f()=, 则 λ=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且· =5,2=10. (1)求 D 点的坐标; (2)若 D 的横坐标小于零,试用,表示 18.(本小题满分 12 分)设 a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2) (1)求证:a 与 b 不共线,并求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)求 c 在 a 方向上的投影; (3)求 λ1 和 λ2,使 c=λ1a+λ2b. 19.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a+b=5,c= 7,且 cos 3 2C+2cos(A+B)=- . 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积 S. 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 19 20 总 分

二 17

18

21

22

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20.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,BC= 5,AC=3,sinC=2sinA. (1)求 AB 的值; π? (2)求 sin? ?2A-4?的值.

21.(本小题满分 12 分)如图,在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时, 测得一轮船在岛北偏东 30° ,俯角为 30° 的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西 60° ,俯角为 60° 的 C 处. (1)求船的航行速度是每小时多少千米? (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远?

22.(本小题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴正半轴上,直线 AB 的倾斜角为 π 3π? 3π ,|OB|=2,设∠AOB=θ,θ∈? ?2, 2 ?. 4 (1)用 θ 表示点 B 的坐标及|OA|; 4 (2)若 tanθ=- ,求 O· O 的值. 3

答案:卷(五) 一、选择题 1.C 对于选项 C,当 b、c 不相等且都与 a 垂直时,a· b=a· c 也成立,故 C 不正确,选 C. 2 2 2 2.A ∵2c =2a +2b +ab, 1 ∴a2+b2-c2=- ab, 2 a2+b2-c2 ∴cos C= 2ab 1 =- <0. 4 则△ABC 是钝角三角形. 故选 A. 3.C ①式的等价式是-=-,左边=+,右边=+,不一定相等;②式的等价式是-=-,+=+ =成立;③式的等价式是-=+,=成立,故选 C. 4.A 由题意知 a 与 b 的夹角为 180° -60° =120° , 1 ∴a· b=|a||b|cos120° =- , 2 2 2 2 ∴|a-b| =a +b -2a· b=3, ∴|a-b|= 3.

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5π 5.B 结合图形易知两向量夹角为 ,且||=a,||= 3a, 6 5π 3a2 故· =||×||×cos =- . 6 2 6.C cos 2B>cos 2A?1-2sin2B>1-2sin2A?sin2B<sin2A?sin A>sin B?A>B. 7.C 设向量 a=(h,k), y=f(2x-1)+1 y=f[2(x-h)-1]+1+k =f(2x+1)-1, 所以 h=-1,k=-2. 8.A 由已知得 =(cos 18° ,cos 72° ) =(cos 18° ,sin 18° ), B=(2cos 63° ,2cos 27° ) =(2sin 27° ,2cos 27° ), 故 cos?,? = 2?cos 18° sin 27° +sin 18° cos 27° ? = 1×2 =cos45° , 故?,?=45° , 1 2 因此 S△= ||×||×sin 135° = . 2 2 9.D ①由于=(-2,1), =(2,-1)?=- ?∥,由共线向量基本定理易知命题正确; ②· =(2,1)· (-2,1)=-3≠0,故命题错误; ③+=(2,1)+(-2,1)=(0,2)=,命题正确; ④=(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),故命题正确,因此正确结论的个数共有 3 个,故选 D. 10.A 由于=λ+ ?+=λ?=λ, 根据共线向量的基本条件, 则 C、P、A 三点共线,故选 A 11.C 由已知得:=a-b, =c-a, 设 a-b=λ(c-a), 即(λ+1)a-b-λc=0, ∴3b=(3λ+3)a-3λc, 又∵3b=ma-c, 1 ∴根据平面向量基本定理得 3λ=1,即 λ= .故选 C. 3 12.C 设 P(x0,y0),Q(x,f(x)), 则由已知得(x,f(x)) π 1 ? =? ?2x0+3,2y0?, π 即 x=2x0+ , 3 1 π ∴x0= x- . 2 6 1 f(x)= y0, 2 ∴y0=2f(x).又 y0=sin x0,

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1 π? ∴2f(x)=sin? ?2x-6?, 1 π? 1 x- . f(x)= sin? 2 ?2 6? 1 ∴(f(x))max= , 2 2π T= 1 2 =4π. 二、填空题 13. 【解析】 ∵P 分有向线段的比为 3,∴=3, 如图, 4 ∴=- 3 4 【答案】 - 3 14. 【解析】 ∵a⊥(b+λa), ∴a· (b+λa)=0. ∴(1,-3)(4+λ,2-3λ) =0, 即(4+λ)-3(2-3λ)=0. 1 解得 λ= . 5 1 【答案】 5 3 15. 【解析】 ∵· = , 2 3 ∴ac· cosB= . 2 3 又∵cosB= ,且 a、b、c 成等比数列,∴b2=ac=2. 4 由余弦定理 b2=a2+c2-2ac· cosB,得 2 2 2 a +c =b +2ac· cosB=5. ∴(a+c)2=a2+c2+2ac =5+4=9,即 a+c=3. 【答案】 3 16. 【解析】 ∵|a|=|b|且 a、b 不共线, ∴(f(a)-f(b))· (a+b) =(λa-λb)· (a+b) =λ(|a|2-|b|2)=0. ∵=(1,2), ∴f()=λ(1,2),=(2,4), ∴λ=2. 【答案】 0,2 三、解答题 17. 【解析】 (1)设 D(x,y),则=(1,2),=(x+1,y). ∴· =x+1+2y=5,① 2 =(x+1)2+y2=10.② ? ? ?x=-2, ?x=2, 联立①②,解之得? 或? ?y=3, ?y=1. ? ?

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∴D 点的坐标为 (-2,3)或(2,1). (2)因 D 点的坐标为(-2,3)时,=(1,2), =(-1,3),=(-2,1), 设=m+n, 则(-2,1) =m(1,2)+n(-1,3). ? ? ?-2=m-n, ?m=-1, ∴? ∴? ?1=2m+3n, ?n=1. ? ? ∴=-+. 18.(1)【解析】 证明: ∵a=(-1,1),b=(4,3), -1×3≠1×4, ∴a 与 b 不共线, a· b -4+3 2 cos<a,b>= = =- . |a||b| 10 2· 5 a· c -5-2 7 58 (2)cos〈a,c〉= = =- , |a||c| 58 2· 29 ∴c 在 a 方向上的投影为 7 |c|cos〈a,c〉=- 2. 2 (3)∵c=λ1a+λ2b, ?5=-λ1+4λ2 ? ∴? , ?-2=λ1+3λ2 ? 23 3 解得 λ1=- ,λ2= . 7 7 19. 【解析】 (1)∵cos 2C 3 +2cos(A+B)=- , 2 ∴2cos2 C-1-2cos C 3 =- , 2 1 ∴cos C= .∵0<C<180° , 2 ∴C=60° . (2)∵c2=a2+b2-2abcos C,∴7=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab, ∵a+b=5,∴7=25-3ab, ∴ab=6, 1 1 3 3 3 ∴S= absin C= ×6× = . 2 2 2 2 AB BC 20. 【解析】 (1)在△ABC 中,根据正弦定理, = . sin C sin A sin C 于是 AB= BC=2BC sin A =2 5. (2)在△ABC 中,根据余弦定理, AB2+AC2-BC2 得 cos A= 2AB· AC 2 5 = . 5

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于是 sin A= 1-cos2A= π? 所以 sin? ?2A-4?

5 4 3 .从而 sin 2A=2sin A· cos A= ,cos 2A=cos2 A-sin2 A= . 5 5 5

π π =sin 2Acos -cos 2Asin 4 4 2 = . 10 21. 【解析】 (1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° ,PA=1, ∴AB= 3. 在 Rt△PAC 中,∠APC=30° , 3 ∴AC= . 3 在△ACB 中,∠CAB=30° +60° =90° , 2 2 ∴BC= AC +AB 32 30 ? +? 3?2= . 3 3 30 1 则船的航行速度为 ÷ =2 30(千米/时). 3 6 (2)在△ACD 中,∠DAC=90° -60° =30° ,sin∠DCA =sin(180° -∠ACB) AB 3 3 =sin∠ACB= = = 10, BC 10 30 3 sin∠CDA=sin(∠ACB-30° ) =sin∠ACB· cos30° -cos∠ACB· sin30° 3 3 = 10· 10 2 1 3 - · 1-? 10?2 2 10 ?3 3-1? 10 = . 20 AD 由正弦定理得 sin∠DCA AC = . sin∠CDA AC· sin∠DCA ∴AD= sin∠CDA 3 3 10 · 3 10 9+ 3 = = . 13 ?3 3-1? 10 20 22. 【解析】 (1)由三角函数的定义得点 B 的坐标为(2cosθ,2sinθ), π π 3π 在△AOB 中,|OB|=2,∠BAO= ,∠B=π- -θ= -θ 4 4 4 |OB| 由正弦定理,得 π sin 4 = ?

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|OA| 2 |OA| ,即 = 3π ? sin∠B 2 -θ sin? 4 ? ? 2 3π ? 所以|OA|=2 2sin? ? 4 -θ?. (2)由(1)得 O· O =|O|· |O|· cosθ 3π ? =4 2sin? cosθ ? 4 -θ?· π 3π? 4 因为 tanθ=- ,θ∈? ?2, 4 ?, 3 4 3 所以 sinθ= ,cosθ=- 5 5 3 π ? 又 sin? ? 4 -θ? 3π 3π =sin cosθ-cos · sinθ 4 4 2 3? ? 2 2 3 12 2? 4 - - = ? × = .∴· =4 2× ×(- )=- . 2 ? 5? ?- 2 ? 5 10 10 5 25 =

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