黑龙江省各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(17)选修系列

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(17)选修系列

一、解答题:

22.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分10分)

选修4 - 1:几何证明选讲

如图,圆O的半径OC垂直于直径AB,弦CD交半径OA于E,过D的切线与BA的延长线交于M。

(1)求证:MD = ME;

(2)设圆O的半径为1,MD =,求MA及CE的长。

解析:(Ⅰ)证明:连接,则

……5分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)

中,

……10分

23.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分10分)

选修4 - 4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,圆C1和C2的参数方程分别是(φ为参数)和(φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求圆C1和C2的极坐标方程;

(2)射线OM:θ = α与圆C1的交点为O、P,与圆C2的交点为O、Q,求| OP | · | OQ |的最大值

24.(东北三省三校 3月高三第一次联合模拟理)(本小题满分10分)

选修4 - 5:不等式选讲

设函数,其中a > 0。

(1)当a = 2时,求不等式的解集;

(2)若时,恒有,求a的取值范围。

解析:(Ⅰ)时,

解集为 ……5分

(Ⅱ),只需即可,

……10分

(22)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,A,B,C,D四点在同一圆上,的延长线交于点,点的延长线上.

(1)若,求的值;

(2)若,证明:

22证明:(四点共圆,

. ......5分

(II)

, 又

四点共圆,

. ......10分

(23)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以正半轴为极轴,已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程是为参数,,射线与曲线交于极点外的三点

(1)求证:

(2)当时,两点在曲线上,求的值.

23.解(1)设点的极坐标分别为

∵点在曲线上,∴

=

, 所以 ......5分

(2)由曲线的参数方程知曲线为倾斜角为且过定点的直线,

时,B,C点的极坐标分别为

化为直角坐标为

∵直线斜率为, ∴

直线BC的普通方程为

∵过点, ∴,解得 ......10分

(24)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟理)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知均为正数

(1)证明:,并确定如何取值时等号成立;

(2)若,求的最大值.

24.(1)证明:

取等条件 ......5分

(2)=18

所以的最大值为,取等条件 ......10分

(22)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,A,B,C,D四点在同一圆上,

的延长线交于点,点的延长线上.

(Ⅰ)若,求的值;

(Ⅱ)若,证明:

22.证明:(四点共圆,

. ..........5分

(II)

, 又

四点共圆,

. ..........10分

(23)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以正半轴为极轴,已知曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程是为参数,,射线与曲线交于极点外的三点

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)当时,两点在曲线上,求的值.

23.解(1)设点的极坐标分别为

∵点在曲线上,

=

, 所以

(2)由曲线的参数方程知曲线为倾斜角为且过定点的直线,

时,B,C点的极坐标分别为

化为直角坐标为,

∵直线斜率为, ∴

直线BC的普通方程为

∵过点, ∴,解得

(24)(黑龙江省哈六中2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

已知均为正数

(Ⅰ)证明:,并确定如何取值时等号成立;

(Ⅱ)若,求的最大值.

24.(1)证明:

取等条件

(2)=18

所以的最大值为,取等条件

(22)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,圆的直径延长线上一点,,割线交圆于点,过点的垂线,交直线于点,交直线于点.

)求证:

)求的值.

(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

解法1:

)连接,则

四点共圆.

. …………………………3分

四点共圆,

. ………………………5分

)∵

四点共圆,………………7分

,又, ………9分

. ………………………………………10分

解法2:

)连接,则,又

,∴. ………5分

)∵

,∴,

, ………………………………7分

又∵, ………………………………………9分

. ………………………………………10分

(23)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,已知曲线:,在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为.

)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的倍、倍后得到曲线,试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程;

)在曲线上求一点,使点到直线的距离最大,并求出此最大值.

(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

解:()由题意知,直线的直角坐标方程为, …………………2分

由题意知曲线的直角坐标方程为,…………………………………4分

∴曲线的参数方程为为参数). …………………………6分

)设,则点到直线的距离

, …………………………8分

时,即点的坐标为时,点到直线的距离最大,

此时. …………………………10分

(24)(黑龙江省大庆市2013届高三第二次模拟文)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数.

)当时,求的解集;

)当时,恒成立,求实数的集合.

(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

解:()解:原不等式可化为

时,,则,无解; …………………………1分

时,,则,∴; ………………………3分

时,,则,∴, ………………………5分

综上所述:原不等式的解集为. …………………………6分

)原不等式可化为

,∴, ……………………………7分

恒成立,

时,的最大值为的最小值为

∴实数的集合为. ……………………………10分

22.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分10分)

选修4 - 1:集合证明选讲

已知AB是圆O的直径,C为圆O上一点,CD⊥AB于点D,弦BE与CD、AC分别交于点M、N,且MN = MC

(1)求证:MN = MB;

(2)求证:OC⊥MN。

22. 证明:(Ⅰ)连结AE,BC,∵AB是圆O的直径,∴∠AEB=90°,∠ACB=90°

∵MN=MC,∴∠MCN=∠MNC

又∵∠ENA=∠MNC,∴∠ENA=∠MCN

∴∠EAC=∠DCB,∵∠EAC=∠EBC,∴∠MBC=∠MCB,∴MB=MC∴MN=MB.

(Ⅱ)设OC∩BE=F,

∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB

由(Ⅰ)知,∠MBC=∠MCB,∴∠DBM=∠FCM.又∵∠DMB=∠FMC

∴∠MDB=∠MFC,即∠MFC=90°∴OC⊥MN.

23.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分10分)

选修4 - 4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0 ≤ α < π)。以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ = 4sinθ。

(1)求直线l与曲线C的平面直角坐标方程;

(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若,求α的值。

23. 解:(Ⅰ)直线普通方程为

曲线的极坐标方程为,则

(Ⅱ),将代入曲线

24.(黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟理)(本小题满分10分)

选修4 - 5:不等式选讲

已知函数

(1)当a = 3时,求不等式的解集;

(2)若恒成立,求实数a的取值范围。

24. 解:(Ⅰ)时,即求解

①当时,

②当时,

③当时,

综上,解集为

(Ⅱ)即恒成立

则函数图象为

22.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分10分)

选修4 - 1:集合证明选讲

如图,AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,OC交⊙O于点E,AE的延长线交BC于点D。

(1)求证:CE2 = CD · CB

(2)若AB = BC = 2,求CE和CD的长。

22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

(Ⅰ)证明:连接BE.

∵BC为⊙O的切线 ∴∠ABC=90°

∵AB为⊙O的直径 ∴∠AEB=90° ……2分

∴∠DBE+∠OBE=90°,∠AEO+∠OEB=90°

∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB ∴∠DBE=∠AEO ……4分

∵∠AEO=∠CED ∴∠CED=∠CBE,

∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE ,

∴CE=CD·CB ……6分

(Ⅱ)∵OB=1,BC=2 ,∴OC=, ∴CE=OC-OE=-1 ……8分

由(Ⅰ)CE =CD?CB得(-1)=2CD,∴CD=3- ……10分

23.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分10分)

选修4 - 4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,已知点P,曲线C的参数方程为(φ为参数)。以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

(1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由;

(2)设直线l与直线C的两个交点为A、B,求的值。

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

解:(Ⅰ)直线,即

直线的直角坐标方程为

在直线上. ……5分

(Ⅱ)直线的参数方程为为参数),曲线C的直角坐标方程为

将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,

,设方程的两根为

……10分

24.(东北三校2013届高三第二次联合模拟文)(本小题满分10分)

选修4 - 5:不等式选讲

设函数

(1)求不等式的解集;

(2)若存在x使不等式成立,求实数a的取值范围。24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

解:(Ⅰ)原不等式等价于

时,,解得不存在;

时,,解得

时,,解得.

综上,不等式的解集为 ……5分

(Ⅱ) 方法一:由函数与函数的图象可知,

当且仅当时,函数与函数的图象有交点,

故存在使不等式成立时,的取值范围是 ……10分

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黑龙江省各地市 高考数学最新联考试题分类汇编(17)选修系列

一、解答题: 22.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)(本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:几何证明选讲 如图 ,圆 O 的半径 OC 垂直于直径 AB,弦 CD 交半径 OA 于 E,过 D 的切线与 BA 的延长 线交于 M。 (1)求证:MD = ME; (2)设圆 O 的半径为 1,MD =

3 ,求 MA 及 CE 的长。

解析: (Ⅰ)证明:连接 OD ,则 OD ? MD

?CEO ? ?ECO ? 90o , ?MDE ? ?EDO ? 90o , 又?EDO ? ?ECO ??CEO ? ?MDE ? ?MED,? MD ? ME

……5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ) MD ? MA ? MB ?3 ? MA ? (MA ? 2) ? MA ? 1

2

在 Rt ?MDO 中, MO ? 2, MD ? 3

??MOD ? 60 ,??COD ? 150 ??ECO ? 15

CE ? OC 1 ? ? 6? 2 cos ?ECO cos 15 o

……10 分

23.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)(本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 和 C2 的参数方程分别是 ?

? x ? 2 ? 2cos ? (φ 为参数)和 ? y ? 2sin ?

? x ? cos ? (φ 为参数) ,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 ? ? y ? 1 ? sin ?

(1)求圆 C1 和 C2 的极坐标方程; (2)射线 O M:θ = α 与圆 C1 的交点为 O、P,与圆 C2 的交点为 O、Q,求| OP | · | OQ |的最大值

1

24.(东北三省三校 3 月高三第一次联合模拟理)(本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?2 x ,其中 a > 0。 (1)当 a = 2 时,求不等式 f ( x) ? 2 x ? 1 的解集; (2)若 x ? (?2, ??) 时,恒有 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围。 解析: (Ⅰ) a ? 2 时, x ? 2 ? 2x ? 2x ? 1 ? x ? 2 ? 1,? x ? 3 或 x ? 1 ,

? 解集为 ? ??,1?

(Ⅱ) f ( x) ? ?

?3, ???

……5 分

?3x ? a,x ? a ? x ? a, x ? a

a ? 0 ? 当 x ? ?2 时 f ( x) ? x ? a ? ?2 ? a ,只需 ?2 ? a ? 0 即可,

……10 分

?a ? 2

(22)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何 证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延 长线上. (1)若

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB

2

F A

(2)若 EF

? FA ? FB ,证明: EF // CD .

D B

22 证明: (I)? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF , 又? ?CED ? ?AEB , ? ?CED ∽ ?AEB ,

E

C

2

?

EC 1 ED 1 EC ED DC ? , ? , ? ? ,? EB 3 EA 2 EA EB AB

......5 分

?

DC 6 . ? AB 6

2

(II)? EF

? FA ? FB ,

?

EF FB ? , 又? ?EFA ? ?BFE , FA FE

? ?FAE ∽ ?FEB ,? ?FEA ? ?EBF ,

又? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,

? ?FEA ? ?EDC , ? EF // CD .

F

......10

(23) (黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

A

D

B

极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为 极 点 , 以 x 正 半 轴 为 极 轴 , 已 知 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为

E C

? x ? m ? t cos ? ? ? 4 cos ? , 曲 线 C 2 的 参 数 方 程 是 ? ( t 为 参 数 , 0 ?? ??) , 射 线 ? y ? t sin ?

? ? ?,? ? ? ?

?

4

,? ? ? ?

?

4

与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A, B, C

(1)求证: | OB | ? | OC |? 2 | OA | ; (2)当 ? ?

?

12

时, B, C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 ? 的值.

23.解(1)设点 A, B, C 的极坐标分别为 ( ?1 , ? ), ( ? 2 , ? ?

?

4

), ( ? 3 , ? ?

?

4

)

∵点 A, B, C 在曲线 C1 上,∴ ?1 ? 4 cos ? , ? 2 ? 4 cos( ? ? 则 | OB | ? | OC | = ? 2 ? ? 3 ? 4 cos( ? ?

?

4

), ? 3 ? 4 cos( ? ?

?

4

)

?

4

) ? 4 cos( ? ?

,

?

4

) ? 4 2 cos ?

所 以

2 | OA |? 2?1 ? 4 2 cos?

| OB | ? | OC |? 2 | OA |

......5 分

(2)由曲线 C 2 的参数方程知曲线 C 2 为倾斜角为 ? 且过定点 (m,0) 的直线,

3

当? ?

?

12

时,B,C 点的极坐标分别为 ( 2,

?

), (2 3 ,? ) 3 6

?

化为直角坐标为 B(1, 3) , C(3,? 3) , ∵直线斜率为 tan? ?

2? ? 3? 3 ? ? 3 , 0 ? ? ? ? , ∴? ? 3 3 ?1 直线 BC 的普通方程为 y ? ? 3( x ? m) ,

∵过点 B(1, 3) , ∴ 3 ? ? 3(1 ? m) ,解得 m ? 2 ......10 分

(24)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟理)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等 式选讲 已知 a , b, c 均为正数 (1)证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ?

1 a

1 1 2 ? ) ? 6 3 ,并确定 a , b, c 如何取值时等号成立; b c

(2)若 a ? b ? c ? 1 ,求 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

? 1 1 1 24.(1)证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ? ? ) 2 ? 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 ? 6 3 a b c 2 2

取等条件 a ? b ? c ? 4 3

......5 分

(2) ( 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1) 2 ? (1 ? 1 ? 1)[( 3a ? 1) 2 ? ( 3b ? 1) 2 ? ( 3c ? 1) 2 ] =18 所以 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值为 3 2 ,取等条件 a ? b ? c ? 分 (22)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何 证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上. (Ⅰ)若

F A

1 3

......10

D

B

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB

2

E

C

(Ⅱ)若 EF

? FA ? FB ,证明: EF // CD .

22.证明: (I)? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF , 又? ?CED ? ?AEB , ? ?CED ∽ ?AEB ,

?

EC 1 ED 1 EC ED DC ? , ? , ? ? ,? EB 3 EA 2 EA EB AB

4

?

DC 6 . ..........5 分 ? AB 6

2

(II)? EF

? FA ? FB ,

?

EF FB ? , 又? ?EFA ? ?BFE , FA FE

? ?FAE ∽ ?FEB ,? ?FEA ? ?EBF ,

又? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,

? ?FEA ? ?EDC , ? EF // CD . ..........10 分

(2 3)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标 系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 正半轴为极轴,

? x ? m ? t cos ? 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,曲线 C 2 的参数方程是 ? ( t 为参数, ? y ? t sin ?

0 ? ? ? ? ) ,射线 ? ? ?, ? ? ? ?

?

4

,? ? ? ?

?

4

与曲线 C1 交于极点 O 外的三点 A, B, C

(Ⅰ)求证: | OB | ? | OC |? 2 | OA | ; (Ⅱ)当 ? ?

?

12

时, B, C 两点在曲线 C 2 上,求 m 与 ? 的值.

23.解(1)设点 A, B, C 的极坐标分别为 ( ?1 , ? ), ( ? 2 , ? ? ∵点 A, B, C 在曲线 C1 上, ∴ ?1 ? 4 cos ? , ? 2 ? 4 cos( ? ?

?

4

), ( ? 3 , ? ?

?

4

)

?

4

), ? 3 ? 4 cos( ? ?

?

4

)

则 | OB | ? | OC | = ? 2 ? ? 3 ? 4 cos( ? ?

?

4

) ? 4 cos( ? ?

?

4

) ? 4 2 cos ?

2 | OA |? 2?1 ? 4 2 cos? , 所以 | OB | ? | OC |? 2 | OA |

(2)由曲线 C 2 的参数方程知曲线 C 2 为倾斜角为 ? 且过定点 (m,0) 的直线, 当? ?

?

12

时,B,C 点的极坐标分别为 ( 2,

?

), (2 3 ,? ) 3 6

?

化为直角坐标为 B(1, 3) , C(3,? 3) ,

5

∵直线斜率为 tan? ?

2? ? 3? 3 ? ? 3 , 0 ? ? ? ? , ∴? ? 3 3 ?1

直线 BC 的普通 方程为 y ? ? 3( x ? m) , ∵过点 B(1, 3) , ∴ 3 ? ? 3(1 ? m) ,解得 m ? 2

(24)(黑龙江省哈六中 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等 式选讲 已知 a , b, c 均为正数 (Ⅰ)证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ?

1 a

1 1 2 ? ) ? 6 3 ,并确定 a , b, c 如何 取值时等号成立; b c

(Ⅱ)若 a ? b ? c ? 1 ,求 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

? 1 1 1 24.(1)证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ? ? ) 2 ? 3(abc) 3 ? 9(abc) 3 ? 6 3 a b c 2 2

取等条件 a ? b ? c ? 4 3 (2) ( 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1) 2 ? (1 ? 1 ? 1)[( 3a ? 1) 2 ? ( 3b ? 1) 2 ? ( 3c ? 1) 2 ] =18 所以 3a ? 1 ? 3b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值为 3 2 ,取等条件 a ? b ? c ?

1 3

(22)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证 明选讲 如图,圆 O 的直径 AB ? 10 , P 是 AB 延长线上一点, BP ? 2 ,割 线 PCD 交圆 O 于点 C 、 D ,过点 P 作 AP 的垂线,交直线 AC 于点 E , 交直线 AD 于点 F . (I)求证: ?PEC ? ?PDF ; (II)求 PE ? PF 的值. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解法 1: (I)连接 BC ,则 ?ACB ? ?APE ? 90 ,

?

即 B 、 P 、 E 、 C 四点共圆. ∴ ?PEC ? ?CBA . …………………………3 分 又 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆, ∴ ?CBA ? ?PDF ∴ ?PEC ? ?PDF . ………………………5 分 (II)∵ ?PEC ? ?PDF ,

6

∴ F 、 E 、 C 、 D 四点共圆,………………7 分 ∴ PE ? PF ? PC ? PD ,又 PC ? PD ? PB ? PA ? 2 ? (2 ? 10) ? 24 , ………9 分

PE ? PF ? 24 . 解法 2: (I)连接 BD ,则 BD ? AD ,又 EP ? AP

∴ ?PDF ? ?PDB ? ?PEA ? ?EAP ? 90? ,

………………………………………10 分

∵ ?PDB ? ?EAP ,∴ ?PEC ? ?PDF . ………5 分 (II)∵ ?PEC ? ?PDF , ?EPC ? ?DPF , ∴ ?PEC ∽ ?PDF ,∴ 即 PE ? PF ? PC ? PD , 分 又∵ PC ? PD ? PB ? PA ? 2(2 ? 10) ? 24, ∴ PE ? PF ? 24 . 分

PC PE ? , PF PD

………………………………7

………………………………………9 分 ………………………………………10

(23)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系 与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : x ? y ? 1 ,在极坐标系(与平面直角坐标

2 2

系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的极坐 标方程为 ? (2 cos? ? sin ? ) ? 6 . ( I)将曲线 C1 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 倍、 2 倍后得到曲 线 C 2 ,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 2 的参数方程; (II)在曲线 C 2 上求一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 , 由题意知曲线 C 2 的直角坐标方程为 ( …………………2 分

x

y ) 2 ? ( ) 2 ? 1 ,…………………………………4 分 2 3

7

∴曲线 C 2 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 cos ? , ( ? 为参数). y ? 2 sin ? . ? ?

…………………………6 分

(II)设 P( 3 cos?,2 sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离

d?

2 3 cos? ? 2 sin ? ? 6 5

4 sin( ? ? ) ? 6 3 , ? 5

?

…………………………8 分

当 sin(

?

3 ? ? ) ? ?1时,即点 P 的坐标为 ( ? ,1) 时,点 P 到直线 l 的距离最大, 2 3

此时 d max ?

4?6 5

?2 5.

…………………………10 分

(24)(黑龙江省大庆市 2013 届高三第二次模拟文)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式 选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2a . (I)当 a ? 1 时,求 f ( x) ? 3 的解集; (II)当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的集合. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I)解:原不等式可化为 2x ? 1 ? x ? 2 ? 3 , 当 x ? 2 时, 3 x ? 3 ? 3 ,则 x ? 2 ,无解; 当 …………………………1 分

1 1 ? x ? 2 时, x ? 1 ? 3 ,则 x ? 2 ,∴ ? x ? 2 ; ………………………3 分 2 2 1 1 当 x ? 时, 3 ? 3 x ? 3 ,则 x ? 0 ,∴ 0 ? x ? , ………………………5 分 2 2

综上所述:原不等式的解集为 ?0,2? . (II)原不等式可化为 x ? 2a ? 3 ? 2x ? 1 , ∵ x ? ?1,2? ,∴ x ? 2a ? 4 ? 2x , 即 2 x ? 4 ? 2a ? x ? 4 ? 2 x , 故 3 x ? 4 ? 2a ? 4 ? x 对 x ? ?1,2? 恒成立, 当 1 ? x ? 2 时, 3 x ? 4 的最大值为 2 , 4 ? x 的最小值为 2 , ……………………………7 分 …………………………6 分

8

∴实数 a 的集合为 ? 1? .

……………………………10 分

22.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)(本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:集合证明选讲 已知 AB 是圆 O 的直径, C 为圆 O 上一点, CD⊥AB 于点 D, 弦 BE 与 CD、AC 分别交于点 M、N,且 MN = MC (1)求证:MN = MB; (2)求证:OC⊥MN。 22. 证明: (Ⅰ)连结 AE , BC ,∵AB 是圆 O 的直径, ∴∠AEB=90°,∠ACB=90° ∵MN=MC,∴∠MCN=∠MNC 又∵∠ENA=∠MNC,∴∠ENA=∠MCN ∴∠EAC=∠DCB,∵∠EAC=∠EBC,∴∠MBC=∠MCB,∴MB=MC∴MN=MB. (Ⅱ)设 OC∩BE=F, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB 由(Ⅰ)知,∠MBC=∠MCB,∴∠DBM=∠FCM.又∵∠DMB=∠FMC ∴∠MDB=∠MFC,即∠MFC=90°∴OC⊥MN. A O E N C M D B

5?

10?

23.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)(本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos ? (t 为参数,0 ≤ α < π ) 。 ? y ? 1 ? t sin ?

2

以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos θ = 4sinθ 。 (1)求直线 l 与曲线 C 的平面直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、B,若 | AB |? 8 ,求 α 的值。 23. 解: (Ⅰ)直线 l 普通方程为 sin ? x ? cos ? y ? cos ? ? 0 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos

2

? ? 4sin ? ,则 ? 2 cos2 ? ? 4? sin ?

9

? cos? ? x, ? sin ? ? y ?C : x2 ? 4 y

(Ⅱ) ,将 l : ?

5?

? x ? t cos ? (t为参数, 0 ? ? ? ? ) 代入曲 线 C : x2 ? 4 y ? y ? 1 ? t sin ?

7?

2

?t 2 cos2 ? ? 4t sin ? ? 4 ? 0

?4 ? 4sin ? ? ? AB ? t1 ? t2 ? ? ?8 ? ? 4? 2 cos 2 ? ? cos ? ?

? cos ? ? ?

?? ?

2 2

3? 4

9?

10?

?

4

24.(黑龙江省哈师大附中 2013 届第三次高考模拟理)(本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? | x ? 1| 。 (1)当 a = 3 时,求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若 f ( x) ? 5 ? x 对 ?x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。 24. 解: (Ⅰ) a ? 3 时,即求解 2x ? 3 ? x ?1 ? 2

3 时, 2 x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2 2 3 ②当 1 ? x ? 时, 3 ? 2 x ? x ? 1 ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 0 2 2 ③当 x ? 1 时, 3 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 x ? 2 ? x ? 3

①当 x ?

y

4

? 2 ? ? 综上,解集为 ? x x ? 或x ? 2? 3 ? ?

5?

o

3

(Ⅱ)即 2x ? a ? 5 ? x ? x ?1 恒成立 令 g ( x) ? 5 ? x ? x ? 1 ? ?

a 2

x

?6 ? 2 x, x ? 1 则函数图象为 ? 4, x ? 1

10

a ? ? 3 ,? a ? 6 2

10?

22.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)(本小题满分 10 分) 选修 4 - 1:集合证明选讲 如图,AB 为⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BC,

OC 交⊙O 于点 E,AE 的延长线交 BC 于点 D。

(1)求证:CE = CD · CB ; (2)若 AB = BC = 2,求 CE 和 CD 的长。

2

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 BE. ∵BC 为⊙O 的切线 ∴∠ABC=90° ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠AEB=90° ∴∠DBE+∠OBE=90°,∠AEO+∠OEB=90° ∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB ∴∠DBE=∠AEO ∵∠AEO=∠CED ∴∠CED=∠CBE, ∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE , ∴

……2 分 ……4 分

CE CD ? CB CE

∴CE =CD·CB

2

……6 分 ……8 分 ……10 分

(Ⅱ)∵OB=1,BC=2 ,∴OC= 5 , ∴CE=OC-OE= 5 -1 由(Ⅰ)CE

2

=CD?CB 得( 5 -1) =2CD,∴CD=3- 5

2

23.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)(本小题满分 10 分) 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,已知点 P (0, 3) ,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 5 cos ? ? ? y ? 15 sin ?

(φ 为

参数) 。以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

??

3

2 cos(? ? ) 6

?

(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (2)设直线 l 与直线 C 的两个交点为 A、B ,求 | PA | ? | PB | 的值。

11

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)直线 l : 2 ? cos(? ?

?

6

) ? 3 ,即 3? cos? ? ? sin ? ? 3 ,

? 直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,

? 点 P(0,

3) 在直线 l 上.

……5 分

1 ? ? x ? ? 2 t, x2 y 2 ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的直角坐标方程为 ? ?1 5 15 ?y ? 3 ? 3 t ? 2 ?

将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方 程, 有 3(? t ) ? ( 3 ?

2

1 2

3 2 t ) ? 15,? t 2 ? 2t ? 8 ? 0 , ? ? 36 ? 0 ,设方程的两根为 t1 , t2 , 2

……10 分

? PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? ?8 ? 8

24.(东北三校 2013 届高三第二次联合模拟文)(本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 7 | ?1。 (1)求不等式 f ( x) ?| x ? 1| 的解集; (2)若存在 x 使不等式 f ( x) ? ax 成立,求实数 a 的取值范围。24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)原不等式等价于 2x ? 7 ? 1 ? x ? 1 当 x ? 1 时, ? (2 x ? 7) ? 1 ? ?( x ? 1) ,解得 x ? 7 ? x 不存在; 当1 ? x ? 当x ?

7 7 时, ? (2 x ? 7) ? 1 ? ( x ? 1) ,解得 x ? 3 ? 3 ? x ? 2 2;

7 7 时, (2 x ? 7) ? 1 ? ( x ? 1) ,解得 x ? 5 ? ? x ? 5 . 2 2

……5 分

综上,不等式的解集为 ?3,5?

(Ⅱ) 方法一:由函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? ax 的图象可知, 当且仅当 a ?

2 或a ? ?2 时,函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? ax 的图象有交点, 7

12

2 故存在 x 使不等式 f ( x) ? ax 成立时, a 的取值范围是 ( ??,?2) ? [ ,??) 7

……10 分

13


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