09压杆稳定

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(09压杆稳定图1)


(09压杆稳定图2)


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(09压杆稳定图7)


(09压杆稳定图8)


(09压杆稳定图9)


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(09压杆稳定图27)

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第九章 压杆稳定

内容:

1.临界载荷

2.临界应力 3.稳定条件

§9.1稳定性概念

B

F

c 干扰

B

弹簧位移δ,弹簧力cδ 力矩Fδ——偏斜

l

力矩cδl——恢复竖直位置的平衡

A

A

1. F<cl 平衡是稳定的。

2. F>cl 平衡是不稳定的。

3.F=cl 随遇平衡状态(直线、微弯)。

F< Fcr

直线的平衡是稳定的

F

干扰

F

F > Fcr

临界载荷Fcr (压杆随机平衡)

F

直线的平衡是不稳定的 失稳

F

§9-2 临界载荷的欧拉公式

一、两端铰支细长压杆的临界载荷

y

F

x

w

F

x

M ( x) =-Fw

d 2 w M ( x) 2 = EI dx

d 2w F w=0 2 + EI dx

F F x+ b cos x 通解为: w = a sin EI EI

∵ x=0, w=0 ∴ b=0 又∵ x=l, w=0

F ∴ sin l=0 EI

F w = a sin x EI

…… ①

F a sin l=0 EI

F l = nπ EI

(n=0,1,…)

…… ②

F w = a sin x EI

F l = nπ EI

n 2π 2 EI (n = 0, 1, …) F= 2 l

最小临界力,n=1

F π = EI l

π 2 EI Fcr = 2 l

πx w = a sin l

欧拉公式

压杆的挠度方程

F

C D A G O E B Fmax

当 x=l/2 时:

wmax = a

Fcr

H

δ

二、其它细长压杆的临界载荷

F

F

F

F

Fcr =

π 2 EI ( μl) 2

l

l

l

欧拉公式 μ——长度系数

π 2 EI l2 μ=1

? 2 EI (2 l ) 2

μ=2

l

π EI (0.5 l ) 2 μ=0.5

2

π 2 EI (0.7 l ) 2 μ=0.7

μl——相当长度

? 2 EI Fcr = ( ) 2 min ( ? l)

例1. 解:

已知:l =800mm, d =20mm, E =200GPa, 求:临界载荷。

d

F

两端铰支μ=1

l

F

1.计算临界载荷

Fcr =

2.讨论

π 2 EI ( μl)

2

=

π 3 Ed 4 64l

2

=

? 3 ×200 ×103 ×204

64 ×800

2

= 24.4kN

Q235钢:σs=235MPa,屈服时的轴向力FN为:

FN =

? d2?s

4

=

? ×202 ×235

4

= 73.8 kN> Fcr

细长压杆的承压能力是由稳定性要求来确定的。

§9-3 欧拉公式的适用范围 中、小柔度杆的临界应力

一、临界应力与柔度

临界应力σcr:

压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。

Fcr ?2E I ? 2 Ei 2 ?2E ?2E σ cr = = = = 2 2 A = 2 ? l A (? l ) (? l ) ? ( )2 i

i= I A

惯性半径 柔度

ix =

Ix A

iy =

Iy A

μl λ= i

? cr

?2E = 2 ?

二、欧拉公式的适用范围

?2E σ cr = 2 ≤ σ p ?

E 即: λ ≥ π σp E 令: λ1 = π σp

? ≥ λ1

大柔度杆

∴欧拉公式对大柔度杆适用

三、中柔度杆的临界应力

?2 ≤ ? ≤ ?1

σcr= a-bλ

中柔度杆 a、b 材料常数

σcr= a-bλ<σs

a-? s ?> b

四、小柔度杆的临界应力

σcr=σs

a-? s ?2 = b

λ ≤λ 2

小柔度杆

强度问题

五、临界应力总图

σcr σcr=σs A

σs

σp

E

D

σcr= a-bλ

C

?2E σ cr = 2 ?

B

o

λ2

λ1

λ

例2.

已知:d =40mm, l=1m, E=210GPa, λ1=100。

求:活塞杆的临界载荷。

解:

F

l

d

p

一端固定一端自由 μ=2

i= I ? d4 4 d = = = 10mm A 64 ? d 2 4

μl 2 ×1000 λ= = = 200 i 10

λ > λ1

? 2 E ? 2 ×210×103 ? cr = 2 = = 51.8MPa 2 ? 200

? d 2 51.8 ×? ×402 Fcr = σ cr = = 65.1 kN 4 4

已知:A=720mm2, Iz=6.5×104mm4, Iy=3.8×104mm4。

例3. 确定硅钢的临界载荷,判断横截面形状设计是否合理。

解: x-y平面:

λz = μzl Iz A = 1 ×700 6.5 ×10 720

4

μz=1

= 73.7

y z

y

700

x

x-z平面:

λy = μ yl Iy A =

μy=0.5

0.5 ×700 3.8 ×104 720 = 48.1

F F

y

F x F

∴失稳在x-y平面

x

z

硅钢:λ2=60, λ1=100, a=577MPa, b=3.74MPa Fcr=A(a-bλ)=720(577-3.74×73.7)=216 kN

λz = 73.7 ? y = 48.1 相差较大,不够合理

最理想的设计是 λz=λy

作业:9.4、9.5、9.6 第四版、第五版

§9.4 压杆的稳定计算

压杆的稳定条件

Fcr F≤ = [ Fst ] nst

σ cr σ≤ = [σ st ] nst

nst—— 稳定安全系数 [Fst]—— 稳定许用压力

[σst]—— 稳定许用应力

在nst的确定时,另外还应考虑压杆的初始弯曲、加载偏心等 因素的不利影响。

不考虑局部削弱的影响(I、A),但对削弱处应进行强度计 算。

例4. 已知:压杆BD为20号Q235槽钢,F=40kN,l=0.5m, nst=5。

校核压杆BD的稳定性。

解: 1.BD杆的受力

Σ M A =0 :

FAx

FAy A B

30°

3l

l

30°

C

A D

B

C

3l FBsin30°- 4l F=0

8 FB = F = 106.67kN 3

FB

F

F

2.BD杆的临界载荷 μ=1,A=32.83cm2,Imin=144cm4,λ1=100,σs=235MPa, lBD = 3m a=310,b=1.14

λ= μl I A = 82.7

λ2<λ<λ1

σcr= a-bλ= 215.7 MPa

Fcr [F ] = = 141.63kN nst

Fcr=σcr A=708.14kN FB<[F]

∴稳定性满足要求

例5. 图示各杆材料的截面均相同,是问那根杆能承受的压力最大, 那根最小(图(e)杆在中间支承处不能转动)。

解:

9m

(a)μ=1, μl=1×5=5m

(b)μ=0.7,μl=0.7×7=4.9m

5m 7m 2m

F

5m

5m

μl λ= i

F

F

F

F

(c)μ=2,

μl=2×2=4m

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(d)μ=0.5,μl=0.5×9=4.5m (e)① μ=0.7, ② μ=0.5,

(a)的Fcr最小 (e)的Fcr最大

μl=0.7×5=3.5m μl=0.5×5=2.5m

例6.

试求图示压杆的临界力,材料是Q235钢,E=210GPa。

解: 压杆绕最小惯性轴yo方向失稳 i=0.58cm,I=0.77cm,μ=2,l=45cm

F

μl 2 ×45 λ= = = 155 i 0.58

λ1=100,λ2=60

? 2 EI ? 2 ×210×109 ×0.77×10 -8 Fcr = 2 = (? l ) ( 2 ×0.45 )2

0.45m

yo

xo

30×30×4

= 1.97 × 10 4 N = 19.7kN

例7. 有一根30×50mm的矩形截面压杆,两端为球形铰支, 试问压杆多长时可开始应用欧拉公式计算临界载荷。

已知:E=200GPa,σp=200MPa。

解:

? E ?= = ?1 = i ?P

i=

?l

2

?2 E ?p = 2 ?1

I min 50 ×303 30 = = = 8.66mm A 50 ×30 ×12 12

∴ lmin

i ?2 E 200×103 = = 8.66? = 860mm μ ?p 200

例8. 图示桁架,由两根抗弯刚度EI相同的等截面细长杆组成,设载 荷F与杆AB的轴线夹角为θ,0≤θ≤π/2,试求载荷F的最小极限值。

解法Ⅰ: FBC=Fsinθ FBA=Fcosθ 当BC杆失稳时,其临界力为 ? 2 EI 2 ? EI ∴F= 2

[ FBC ]cr =

2 lBC

B

= Fsinθ

l BC sin?

当θ=π/2时

[F ] =

? 2 EI

2 lBC

=

? 2 EI

3 ( a) 2

=

4? 2 EI 3 a2

A

60°

C a

B

∴F =

当BA杆失稳时,其临界力为 2 2 ? EI ? EI

2 l BA cos?

[ FBA ]cr =

2

2 l BA

= Fcos?

2

FBA

FBC

当θ=0时

? EI ? EI 4? EI ∴[ F ] = 2 = = 2 1 l BA a 2 ( a) 2

2

比较后 取

[F ] = 4? 2 EI 3 a2

解法Ⅱ:

∵ EI相同,lBC>lBA

? 2 EI Fcr = (? l ) 2

A

B

C a

∴[FBC]cr<[FBA]cr

∴结构的许用载荷应按BC杆的临界力确定

60°

FBC=Fsinθ

当θ=π/2时

FBC=F

∴ [FBC]=[F]

∴ [F ] =

? 2 EI

2 l BC

=

? 2 EI

3 ( a) 2

=

4? 2 EI 3a2

例9.

试证明:所有几何形状相似且材料、支承方式均相同的

压杆,其临界应力相同。

证明: σ cr = a-bλ

?2E σ cr = 2 ?

μl λ= i

i=

I A

几何形状相似,则 l/i 相同。

设: ①l、A、I;

② kl、k2A、k4I, k——常数

λ1 = μl I A

?2 =

μkl k4 I k2 A

=

?l

I A

?1 = ?2

即Fcr相同。

例10. 图示结构用低碳钢制成,试求载荷F的许用值。

E=205GPa, σs=275MPa,a=338,b=1.21,λp=90,λo=50,n=2,nst=3。

φ60

解: 1、一次静不定

No16

A

1m

F

1m 1m

wB = Δl

Fl 2 FN (2 l )3 5 Fl 3 8 FN l 3 wB = [3(2 l ) -l ] - = - 6 EI 3 EI 6 EI 3 EI

B

C

0.38Fl

A

F

B

I=1130×104mm4

FN l Δl = EA

W=141×103mm3

0.69F M

0.31F 0.31Fl

∴ FN = 0.31F

0.38Fl

例10. 图示结构用低碳钢制成,试求载荷F的许用值。

E=205GPa, σs=275MPa,a=338,b=1.21,λp=90,λo=50,n=2,nst=3。

2、梁AB Mmax=0.38Fl

M 0.38 Fl ?= = ≤ [? ] W W

φ60

σs [? ] = = 137.5MPa n

No16

A

1m

F

1m 1m

B

[? ]W F≤ = 51kN 0.38l

0.38Fl

A

F

C

B

3、杆BC

? =1

?=

4? l = 66.6 d

λ2<λ<λ1

0.69F M 0.38Fl

0.31F 0.31Fl

∴ Fcr = Aσ cr = A(a-b ? ) = 727.45kN

Fcr [ Fcr ] = = 242.5kN nst

FN = 0.31F ≤ [ Fcr ]

[F] = 51 kN

[ Fcr ] F≤ ? 782 .3kN 0.31

综合梁、杆的情况取

§9.5提高 压杆稳定性的措施

一、选择合理的截面形状

? cr

?2E = 2 ?

1、在A不变时,增加I 可以使Fcr、σcr增加。

σcr= a-bλ

μl A λ= ? ?l i I

i= I A

壁厚不可以太薄,造成局部失稳。

型钢间要有缀条或缀板,以构成整体。

2、不同方向的柔度应尽量靠近。

二、改善压杆的约束条件

F

F

F

l

l

三、合理选择材料

l

作业:9.8 E=210GPa、 9.13、9.14

第四、五版


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