2011届高三一轮测试(理)1集合与简易逻辑

来源:互联网 由 时列会下 贡献 责任编辑:王小亮  

集合与简易逻辑

(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是 (  )

【解析】 由N={x|x2+x=0},得N={-1,0}.∵M={-1,0,1},∴N?M,故选B.

【答案】 B

2.已知集合A={(x,y)|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x,x∈R},则集合A∩B中的元素个数为 (  )

A.0           B.1

C.2 D.无穷

【解析】 ∵集合中表示的元素为点,元素分别在抛物线上y=x2及直线y=x上,而直线y=x与抛物线y=x2有两个交点,∴A∩B中元素的个数为2.

【答案】 C

3.已知p:2+3=5;q:5<4,则下列判断错误的是 (  )

A.“p∨q”为真,“?p”为假

B.“p∧q”为假,“?q”为真

C.“p∧q”为假,“?p”为假

D.“p∧q”为真,“p∨q”为真

【解析】 ∵p为真,∴?p为假,又∵q为假,∴?q为真,故选D.

【答案】 D

4.已知全集∪={1,2,3,4,5},集合A={x∈Z||x-3|<2},则集合?UA等于 (  )

A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}

C.{1,5} D.{5}

【解析】 ∵|x-3|<2,∴-2<x-3<2,即1<x<5.∵x∈Z,∴A={2,3,4}.∴?UA={1,5},故选C.

【答案】 C

5.已知集合A中有10个元素,B中有6个元素,全集∪中有18个元素,设?U(A∪B)中有x个元素,则x的取值范围是 (  )

A.3≤x≤8且x∈N B.2≤x≤8且x∈N

C.8≤x≤12且x∈N D.10≤x≤15且x∈N

【解析】 设A∪B中有y个元素,可知10≤y≤16,y∈N,又由x=18-y可得2≤x≤8,故选B.

【答案】 B

6.若集合M={x|x2-2x-3<0},P={y|y=},那么M∩P等于 (  )

A.(0,3) B.[0,3)

C.[1,3) D.[-1,+∞)

【解析】 据题意M={x|-1<x<3},P={y|y≥0},故M∩P={y|0≤y<3},即选B.

【答案】 B

7.给出命题:p:3>1;q:4∈{2,3},则在下列三个复合命题:“p且q”;“p或q”;“非p”中,真命题的个数为 (  )

A.0 B.3

C.2 D.1

【解析】 ∵p真q假,∴p或q为真.故应选D.

【答案】 D

8.条件甲“a>1”是条件乙“a>”成立的 (  )

A.既不充分也不必要条件 B.充要条件

C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

【解析】 a>1时,显然有a>,由a>得a>1,故选B.

【答案】 B

9.有下列四个命题,其中真命题是 (  )

①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m≤1,则方程x2-2x+m=0的实根”的逆否命题;④“若M∩P=P,则M?P”的逆否命题.

A.①② B.②③

C.①②③ D.③④

【解析】 其中①②③为正确命题,④为假命题.

【答案】 C

10.(2009年安徽卷)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的 (  )

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】 由于a>b,且c>d?a+c>b+d,

而a+c>b+d ?a>b且c>d,

所以“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件.

【答案】 A

11.kx2+2kx-(2+k)<0恒成立,则实数k的取值范围是 (  )

A.-2≤k≤0 B.-1≤k<0

C.-1<k≤0 D.-1<k<0

【解析】 k=0或?k=0或?

-1<k≤0.

【答案】 C

12.设全集U={1,2,3,4},集合A、B是U的不同子集,若A∩B={1,3},则称A,B为“理想配集”,记作(A,B),则“理想配集”(A,B)的个数为 (  )

A.4 B.8

C.9 D.16

【解析】 由题意,当A={1,3}时,

则B有{1,3,2},{1,3,4},{1,2,3,4}三种情况;

当A={1,3,2}时,B有{1,3},{1,3,4}两种情况;

当A={1,3,4}时,B有{1,3},{1,3,2}两种情况;

当A={1,2,3,4}时,B有{1,3}一种情况,

共有3+2+2+1=8(种),故选B.

【答案】 B

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.设U={n|n是小于9的正整数},A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则?U(A∪B)=________

【解析】 ∵U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7},∴?U(A∪B)={2,4,8}.

【答案】 {2,4,8}

14.命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是________.

【解析】 否命题是对条件和结论都否定,

x2<1的否定为x2≥1.

“-1<x<1”的否定是x≤-1或x≥1.

【答案】 “若x≥1或x≤-1,则x2≥1”

15.已知A={1,2,3},B={1,2},定义集合A、B之间的运算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x∈A,x2∈B}则集合A*B中最大的元素是________;集合A*B的所有子集的个数为________.

【解析】 集合A*B中最大的元素是3+2=5,集合A*B中有2,3,4,5共4个元素,所以子集的个数为24=16.

【答案】 5 16

16.条件p:-1<m<5;条件q:方程x2-2mx+m2-1=0的两根均大于-2小于 4,则p是q的________.

【解析】 方程x2-2mx+m2-1=0的两根为x1=m+1,x2=m-1,由

?-1<m<3.

【答案】 必要而不充分条件.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)判断下列命题的真假.

(1)命题“在△ABC中,若AB>AC,则∠C>∠B”的逆命题;

(2)命题“若ab≠0,则a≠0且b≠0”的否命题;

(3)命题“若a≠0,且b≠0,则ab≠0”的逆否命题.

【解析】 (1)该命题的逆命题:在△ABC中,若∠C>∠B,

则AB>AC,命题为真命题.

(2)该命题的否命题:若ab=0,则a=0或b=0,,命题为真命题.

(3)该命题的逆否命题:若ab=0,则a=0或b=0,命题为真命题.

18.(本小题满分12分)已知集合A={x|x2-4x-5≤0},

B={x|x2-2x-m<0}.

(1)当m=3时,求A∩?RB;

(2)若A∩B={x|-1≤x<4},求实数m的值.

【解析】 (1)A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5},

当m=3时,B={x|-1则?RB={x|x≤-1或x≥3},

∴A∩?RB={x|x=-1或3≤x≤5}.

(2)∵A∩B={x|-1≤x<4},

∴x=4是方程x2-2x-m=0的一个根,

∴有42-2×4-m=0,解得m=8,

此时B={x|-219.(本小题满分12分)已知集合A={-4,2a-1,a2},

B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.

(1)9∈A∩B;

(2){9}=A∩B.

【解析】 9∈A∩B与{9}=A∩B意义不同,9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素,但A与B中允许有其他公共元素.

{9}=A∩B,说明A与B的公共元素有且只有一个9.

(1)∵9∈A∩B,且9∈B∴9∈A

∴2a-1=9或a2=9,∴a=5或a=±3.

检验知:a=5或a=-3.

(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B,

∴a=5或a=-3.检验知:a=-3.

20.(本小题满分12分)设函数f(x)=ax+2,

不等式|f(x)|<6的解集为(-1,2),

试求不等式≤1的解集.

【解析】 ∵|ax+2|<6,∴(ax+2)2<36,

即a2x2+4ax-32<0,

由题设可得,解得:a=-4.

∴f(x)=-4x+2,由≤1

≤1变形得:≥0,它等价于(5x-2)(4x-2)≥0,且4x-2≠0,解得:x>或x≤.

∴原不等式的解集为.

21.(本小题满分12分)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a<0,q:实数x满足x2-x-6≤0,或x2+2x-8>0,且綈p是綈q的必要不充分条件,求a的取值范围.

【解析】 将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,从而列出a所满足的不等式而求解.

设A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)}

={x|3a<x<a(a<0)};

B={x|q}={x|x2-x-6≤0或x2+2x-8>0}

={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0}

={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2}

={x|x<-4,或x≥-2}.

∵綈p是綈q的必要不充分条件,

∴綈q?綈p,且綈p?/綈q,

则{x|綈q} {x|綈p}.

而{x|綈q}=?RB={x|-4≤x<-2},

{x|綈p}=?RA={x|x≤3a,或x≥a(a<0)},

∴{x|-4≤x<-2} {x|x≤3a,或x≥a(a<0)},

即-≤a<0或a≤-4.

22.(本小题满分12分)已知命题p:x∈A={x|a-1<x<a+1,x∈R},命题q:x∈B={x|x2-4x+3≥0}.

(1)或A∩B=?,A∪B=R,求实数a,

(2)若綈q是p的必要条件,求实数a.

【解析】 由题意得B={x|x≥3或x≤1},

(1)由A∩B=?,A∪B=R,可知

A=?RB=(1,3),

?a=2.

(2)∵B={x|x≥3或x≤1},

∴綈q:x∈{x|1<x<3}.

∵綈q是p的必要条件.即p?綈q,

∴A??RB=(1,3),

?2≤a≤2?a=2.

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集合与简易逻辑

(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )

【解析】 由 N={x|x2+x=0},得 N={-1,0}.∵M={-1,0,1},∴N?M,故选 B. 【答案】 B 2.已知集合 A={(x,y)|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x,x∈R},则集合 A∩B 中的元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.无穷 【解析】 ∵集合中表示的元素为点,元素分别在抛物线上 y=x2 及直线 y=x 上,而直线 y=x 与抛物 线 y=x2 有两个交点,∴A∩B 中元素的个数为 2. 【答案】 C 3.已知 p:2+3=5;q:5<4,则下列判断错误的是 A. “p∨q”为真, “? p”为假 B. “p∧q”为假, “? q”为真 C. “p∧q”为假, “? p”为假 D. “p∧q”为真, “p∨q”为真 【解析】 ∵p 为真,∴? p 为假,又∵q 为假,∴? q 为真,故选 D. 【答案】 D 4.已知全集∪={1,2,3,4,5},集合 A={x∈Z||x-3|<2},则集合?UA 等于 A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{1,5} D.{5}

(

)

(

)

【解析】 ∵|x-3|<2,∴-2<x-3<2,即 1<x<5.∵x∈Z,∴A={2,3,4}.∴?UA={1,5},故选 C. 【答案】 C 5.已知集合 A 中有 10 个元素,B 中有 6 个元素,全集∪中有 18 个元素,设?U(A∪B)中有 x 个元素, 则 x 的取值范围是 ( ) A.3≤x≤8 且 x∈N B.2≤x≤8 且 x∈N C.8≤x≤12 且 x∈N D.10≤x≤15 且 x∈N 【解析】 设 A∪B 中有 y 个元素,可知 10≤y≤16,y∈N,又由 x=18-y 可得 2≤x≤8,故选 B. 【答案】 B 6.若集合 M={x|x2-2x-3<0},P={y|y= x-1},那么 M∩P 等于 ( ) A.(0,3) B.[0,3) C.[1,3) D.[-1,+∞) 【解析】 据题意 M={x|-1<x<3},P={y|y≥0},故 M∩P={y|0≤y<3},即选 B. 【答案】 B

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7.给出命题:p:3>1;q:4∈{2,3},则在下列三个复合命题: “p 且 q” ; “p 或 q” ; “非 p”中,真 命题的个数为 ( ) A.0 B .3 C.2 D.1 【解析】 ∵p 真 q 假,∴p 或 q 为真.故应选 D. 【答案】 D 8.条件甲“a>1”是条件乙“a> a”成立的 A.既不充分也不必要条件 B.充要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

(

)

【解析】 a>1 时,显然有 a> a,由 a> a得 a>1,故选 B. 【答案】 B 9.有下列四个命题,其中真命题是 ( ) ①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若 m≤1, 则方程 x2-2x+m=0 的实根”的逆否命题;④“若 M∩P=P,则 M?P”的逆否命题. A.①② B.②③ C.①②③ D.③④ 【解析】 其中①②③为正确命题,④为假命题. 【答案】 C 10.(2009 年安徽卷)“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由于 a>b,且 c>d?a+c>b+d, 而 a+c>b+d ?a>b 且 c>d, 所以“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的必要不充分条件. 【答案】 A 11.kx2+2kx-(2+k)<0 恒成立,则实数 k 的取值范围是 A.-2≤k≤0 B.-1≤k<0 C.-1<k≤0 D.-1<k<0

(

)

(

)

? ? ?k<0 ?k<0 【解析】 k=0 或? ?k=0 或? ? ?Δ<0 ?4k2+4k(2+k)<0 ? ?

-1<k≤0. 【答案】 C 12.设全集 U={1,2,3,4},集合 A、B 是 U 的不同子集,若 A∩B={1,3},则称 A,B 为“理想配集” , 记作(A,B),则“理想配集”(A,B)的个数为 ( ) A.4 B .8 C.9 D.16 【解析】 由题意,当 A={1,3}时, 则 B 有{1,3,2},{1,3,4},{1,2,3,4}三种情况; 当 A={1,3,2}时,B 有{1,3},{1,3,4}两种情况; 当 A={1,3,4}时,B 有{1,3},{1,3,2}两种情况; 当 A={1,2,3,4}时,B 有{1,3}一种情况, 共有 3+2+2+1=8(种),故选 B. 【答案】 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.设 U={n|n 是小于 9 的正整数},A={n∈U|n 是奇数},B={n∈U|n 是 3 的倍数},则?U(A∪B)=

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________ 【解析】 ∵U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7},∴?U(A∪B)={2,4,8}. 【答案】 {2,4,8} 14.命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是________. 【解析】 否命题是对条件和结论都否定, x2<1 的否定为 x2≥1. “-1<x<1”的否定是 x≤-1 或 x≥1. 【答案】 “若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1” 15.已知 A={1,2,3},B={1,2},定义集合 A、B 之间的运算“*” :A*B={x|x=x1+x2,x∈A,x2∈B} 则集合 A*B 中最大的元素是________;集合 A*B 的所有子集的个数为________. 【解析】 集合 A*B 中最大的元素是 3+2=5,集合 A*B 中有 2,3,4,5 共 4 个元素,所以子集的个数 为 24=16. 【答案】 5 16 16. 条件 p: -1<m<5; 条件 q: 方程 x2-2mx+m2-1=0 的两根均大于-2 小于 4, 则 p 是 q 的________. 【解析】 方程 x2-2mx+m2-1=0 的两根为 x1=m+1,x2=m-1,由

? ?-2<m+1<4 ? ?-1<m<3. - 2 < m - 1 < 4 ? ?

【答案】 必要而不充分条件. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)判断下列命题的真假. (1)命题“在△ABC 中,若 AB>AC,则∠C>∠B”的逆命题; (2)命题“若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0”的否命题; (3)命题“若 a≠0,且 b≠0,则 ab≠0”的逆否命题. 【解析】 (1)该命题的逆命题:在△ABC 中,若∠C>∠B, 则 AB>AC,命题为真命题. (2)该命题的否命题:若 ab=0,则 a=0 或 b=0, ,命题为真命题. (3)该命题的逆否命题:若 ab=0,则 a=0 或 b=0,命题为真命题. 18.(本小题满分 12 分)已知集合 A={x|x2-4x-5≤0}, B={x|x2-2x-m<0}. (1)当 m=3 时,求 A∩?RB; (2)若 A∩B={x|-1≤x<4},求实数 m 的值. 【解析】 (1)A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5}, 当 m=3 时,B={x|-1<x<3}, 则?RB={x|x≤-1 或 x≥3}, ∴A∩?RB={x|x=-1 或 3≤x≤5}. (2)∵A∩B={x|-1≤x<4}, ∴x=4 是方程 x2-2x-m=0 的一个根, ∴有 42-2×4-m=0,解得 m=8, 此时 B={x|-2<x<4}符合题意. 19.(本小题满分 12 分)已知集合 A={-4,2a-1,a2}, B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的 a 的值. (1)9∈A∩B; (2){9}=A∩B.

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【解析】 9∈A∩B 与{9}=A∩B 意义不同,9∈A∩B 说明 9 是 A 与 B 的一个公共元素,但 A 与 B 中允许 有其他公共元素. {9}=A∩B,说明 A 与 B 的公共元素有且只有一个 9. (1)∵9∈A∩B,且 9∈B∴9∈A ∴2a-1=9 或 a2=9,∴a=5 或 a=± 3. 检验知:a=5 或 a=-3. (2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B, ∴a=5 或 a=-3.检验知:a=-3. 20.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ax+2, 不等式|f(x)|<6 的解集为(-1,2), x 试求不等式 ≤1 的解集. f(x) 【解析】 ∵|ax+2|<6,∴(ax+2)2<36, 即 a2x2+4ax-32<0,

?- a =(-1)+2 由题设可得? 32 ?- a =(-1)×2

2 2

4a

,解得:a=-4.

x ∴f(x)=-4x+2,由 ≤1 f(x) 即 5x-2 1 2 ≤1 变形得: ≥0,它等价于(5x-2)(4x-2)≥0,且 4x-2≠0,解得:x> 或 x≤ . 2 5 -4x+2 4x-2 x

? 1 2 ? x> 或x≤ ?. ∴原不等式的解集为?x? 2 5 ? ? ?

21.(本小题满分 12 分)设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a<0,q:实数 x 满足 x2-x-6≤0, 或 x +2x-8>0,且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.

2

【解析】 将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,从而列出 a 所满足的不等式而求解. 设 A={x|p}={x|x2-4ax+3a2<0(a<0)} ={x|3a<x<a(a<0)}; B={x|q}={x|x2-x-6≤0 或 x2+2x-8>0} ={x|x2-x-6≤0}∪{x|x2+2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4 或 x>2} ={x|x<-4,或 x≥-2}. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, ∴綈 q?綈 p,且綈 p?/綈 q, 则{x|綈 q x|綈 p}. 而{x|綈 q}=?RB={x|-4≤x<-2}, {x|綈 p}=?RA={x|x≤3a,或 x≥a(a<0)}, ∴{x|-4≤x<- x|x≤3a,或 x≥a(a<0)},

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? ? ?3a≥-2, ?a≤-4, 2 则? 或? 即- ≤a<0 或 a≤-4. 3 ? ? ?a<0 ?a<0,

22.(本小题满分 12 分)已知命题 p:x∈A={x|a-1<x<a+1,x∈R},命题 q:x∈B={x|x2-4x+3 ≥0}. (1)或 A∩B=?,A∪B=R,求实数 a, (2)若綈 q 是 p 的必要条件,求实数 a. 【解析】 由题意得 B={x|x≥3 或 x≤1}, (1)由 A∩B=?,A∪B=R,可知 A=?RB=(1,3),

?a+1=3 ? ∴? ?a=2. ?a-1=1 ?

(2)∵B={x|x≥3 或 x≤1}, ∴綈 q:x∈{x|1<x<3}. ∵綈 q 是 p 的必要条件.即 p?綈 q, ∴A??RB=(1,3),

?a+1≤3 ? ∴? ?2≤a≤2?a=2. ?a-1≥1 ?

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