2011江西数学高考题解析理科

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2011年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)

理科数学

本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页,满分150分,考试时间120分钟. 考试结束后, 考试注意:

1.答题前,考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核

对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致.

2.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.

3.考试结束后,监考员将试题卷、答题卡一并交回。 参考公式:

样本数据(11,y x ),(22,y x ),...,(n n y x ,)的线性相关系数

∑∑∑===----=

n

i i

n i i

n

i i

i

y y x x y y x x r 1

2

1

2

1

)

()()

)(( 其中

n

x x x x n

+++=

(21)

n

y y y y n +++= (21)

锥体的体积公式

13

V Sh =

其中S 为底面积,h 为高 第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1) 若i

i

z 21+=,则复数-z = ( )

A.i --2

B. i +-2

C. i -2

D.i +2

答案:C 解析: i i i i i i i z -=--=+=+=21

2

22122 (2) 若集合}02

|

{},3121|{≤-=≤+≤-=x

x x B x x A ,则B A ?= ( )

A.}01|{<≤-x x

B.}10|{≤C.}20|{≤≤x x

D.}10|{≤≤x x 答案:B 解析:{}{}{}10/,20/,11/≤<=?≤<=≤≤-=x x B A x x B x x A (3) 若)

12(2

1log

1)(+=

x x f ,则)(x f 的定义域为 ( )

A. (21-,0)

B. (21-,0]

C. (2

1

-,∞+) D. (0,∞+)

答案: A 解析:

()?

?

? ??-∈∴<+<∴>+0,211

120,012log 2

1x x x

(4) 若x x x x f ln 42)(2--=,则0)('>x f 的解集为 ( )

A. (0,∞+)

1,0)?(2,∞+)

C. (2,∞+)

D. (-1,0)

答案:C 解析:()()()2

,012,0,

02

,0422'2>∴>+-∴>>-->--=x x x x x

x x x x x f (5) 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55

答案:A 解析:

1

1,41,31

,2104314321321212==∴=+==∴=+==∴=+=a a S S S a S S S a S a a S

(6) 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则 ( )

A.012<B. 120r r <<

C.120r r <<

D. 12r r =

答案:C 解析: ()()

()()

∑∑∑===----=

n

i i

n i i

n

i i

i

y y x x y y x x r 1

2

1

2

1

第一组变量正相关,第二组变

量负相关。

(7) 观察下列各式:,...,781255,156255,31255765===则20115的末四位数字为 ( )

A.3125

B. 5625

C.0625

D.8125 答案:D 解析:

()()()()()()()8125***2011

,1200842011390625

8,781257,156256,31255,6254,5=∴-=-======f f f f f f x f x (8) 已知321,,ααα是三个相互平行的平面,平面21,αα之间的距离为1d ,平面32,αα之间的距离为2d .直线l 与321,,ααα分别交于321,,P P P .那么”“3221P P P P =是”

“21d d =的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

答案:C xkb1.com

解析:平面321,,ααα平行,由图可以得知:

如果平面距离相等,根据两个三角形全等可知3221P P P P = 如果3221P P P P =,同样是根据两个三角形全等可知21d d =

(9) 若曲线02221=-+x y x C :与曲线0)(2=--m mx y y C :有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( ) A. )33,33(-

B. )33,0()0,33(?-

C. ]33,33[-

D. ),3

3

()33,(+∞?--∞

答案:B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心,以1为半径的圆,曲线

-m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-,0=y 与圆有两个交点,

故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点,由图可以知道,临界情况即是与圆相切的时候,经计算可得,两种相切分别对应3

3

33=

-

=m m 和,由图可知,m 的取值范围应是???

?

??????? ??-33,00,33

10.如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动,M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这 样滚过大圆内壁的一周,点M ,N 在大圆内所绘出的图形大致是( )

答案:

A

解析:根据小圆 与大圆半径1:2的关系,找上下左右四个

点,根据这四个点的位置,小圆转半圈,刚好是大圆的四分之一,因此M 点的轨迹是个大圆,而N 点的轨迹是四条线,刚好是M 产生的大圆的半径。

第II 卷

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

11.

2==,()()

?+b a b a ,则与的夹角为 .

答案:。

60(3

π) 解析:根据已知条件2)()2(-=-?+→→→→b a b a ,去括号得:

242cos 22422

2

-=?-??+=-?+→→

→θb b a a , 。60,2

1

cos ==?θ

(PS :这道题其实2010年湖南文科卷的第6题翻版过来的,在我们寒假班的时候也讲过一道类似的,在文科讲义72页的第2题。 此题纯属送分题!)

12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若

此点到圆心的距离大于21,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于4

1

,则

去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .

答案:1613 解析:方法一:不在家看书的概率=161321-412

2=???? ??+??? ???=+ππ

ππ所有情况打篮球看电影 方法二:不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—

16

1341-212

2

=???

?????? ???πππ (PS: 通过生活实例与数学联系起来,是高考青睐的方向,但在我们春季班讲义二第一页的第五题

已经做过类似题型,那么作为理科生,并且是上过新东方春季班课程的理科生,是不是应该作对,不解释。)

13.下图是某算法程序框图,则程序运行后输出的结果是__________.xkb1.com

10. 解析:s=0,n=1;带入到解析式当中,s=0+(-1)+1=0,n=2;

s=0+1+2=3, n=3; S=3+(-1)+3=5, n=4;

S=5+1+4=10,此时s>9,输出。

(PS:此题实质是2010江苏理科卷第7题得翻版,同时在我们寒假题海班,理科讲义的第200页的第6题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到,应该也是灰常熟悉的。并且框图本来就是你们的拿手菜,所以最对也不觉奇怪。)

14.若椭圆122

22=+b

y a x 的焦点在x 轴上,过点)21,1(作圆122=+y x 的切线,切点分别

为A ,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .

以下内容为系统自动转化的文字版,可能排版等有问题,仅供您参考:

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第 I 卷 1 至 2 页。

第Ⅱ卷 3 至 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考试结束后, 考试注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核 对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证 号、姓名是否一致. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在 答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束后,监考员将试题卷、答题卡一并交回。

参考公式: 样本数据( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) ,..., ( xn , yn )的线性相关系数

r?

? ( x ? x)( y ? y)

i ?1 i i

n

? ( x ? x) ? ( y ? y )

2 i ?1 i i ?1 i

n

n

其中

2

x1 ? x2 ? ... ? xn n y ? y2 ? ... ? yn y? 1 n x?

锥体的体积公式

V?

1 Sh 3 其中 S 为底面积, h 为高

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ? 1 ? 2i (1) 若 z ? ,则复数 z = ( ) i A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i 答案:C (2)

1 ? 2i i ? 2i 2 i ? 2 ? 2 ? ? 2?i 解析: z ? i i ?1

x?2 ? 0} ,则 A ? B = ( x

若集合 A ? {x | ?1 ? 2 x ? 1 ? 3}, B ? {x |

)

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A. {x | ?1 ? x ? 0} 答案:B (3)

B. {x | 0 ? x ? 1}

C. {x | 0 ? x ? 2}

D. {x | 0 ? x ? 1}

解析: A ? ?x / ?1 ? x ? 1?, B ? ?x / 0 ? x ? 2?, A ? B ? ?x / 0 ? x ? 1?

若 f ( x) ?

1 log(12 x?1)

2

,则 f ( x) 的定义域为 (

)

1 A. ( ? ,0) 2

1 1 B. ( ? ,0] C. ( ? , ? ? ) 2 2 log1 ?2 x ? 1? ? 0,? 0 ? 2 x ? 1 ? 1

2

D. (0, ? ? )

答案: A

解析:

? 1 ? ? x ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

)

(4)

若 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ' ( x) ? 0 的解集为 (

A. (0, ? ? ) C. (2, ? ? ) 答案:C

f ' ?x ? ? 2 x ? 2 ?

B. (-1,0) ? (2, ? ? ) D. (-1,0)

4 x2 ? x ? 2 ? 0, ? 0, 解析: x x ? x ? 0,? ?x ? 2??x ? 1? ? 0,? x ? 2

(5) A. 1

已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? Sm ? Sn?m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 ? ( B. 9 C. 10 D. 55

)

? S 2 ? a1 ? a2 ? 2S1 ,? a2 ? 1

答案:A 解析:

? S3 ? S1 ? S 2 ? 3,? a3 ? 1 ? S 4 ? S1 ? S3 ? 4,? a4 ? 1 ? a10 ? 1

(6) 变 量 X 与 Y 相 对 应 的 一 组 数 据 为 (10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10,5),(11.3,4) , (11.8,3) , (12.5,2) , (13,1). r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相 关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则 ( A. r2 ? r1 ? 0 B. 0 ? r2 ? r1 C. r2 ? 0 ? r1

i

) D. r2 ? r1

答案:C

解析: r ?

? ?x ? x ??y ? y ?

n i ?1 i

? ?x ? x ? ? ?y ? y ?

n 2 n i ?1 i i ?1 i

第一组变量正相关,第二组变

2

量负相关。

Xkb1.com

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(7) (

观察下列各式 : 55 ? 3125 ,56 ? 15625 ,57 ? 78125 ,..., 则 52011 的末四位数字为 B. 5625 C.0625 D.8125

) A.3125 答案:D 解析:

? f ?x ? ? 5x , f ?4? ? 625, f ?5? ? 3125 , f ?6? ? 15625 , f ?7? ? 78125 , f ?8? ? 390625 ? ? ***8125 2011? 4 ? 2008? 1,? f ?2011

(8) 已知 ?1,? 2 ,?3 是三个相互平行的平面 , 平面 ?1 , ? 2 之间的距离为 d1 , 平面

是 ?2 ,?3 之间的距离为 d2 .直线 l 与 ?1,? 2 ,?3 分别交于 P “P 1, P 2, P 3 . 那么 1P 2 ? P 2P 3” 的 ( “d1 ? d2” ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 答案:C xkb1.com 解析:平面 ?1 , ? 2 , ? 3 平行,由图可以得知:

如果平面距离相等,根据两个三角形全等可知 P 1P 2 ? P 2P 3 如果 P 1P 2 ? P 2P 3 ,同样是根据两个三角形全等可知 d1 ? d 2

(9)

若曲线 C1:x2 ? y 2 ? 2x ? 0 与曲线 C2:y( y ? mx? m) ? 0 有四个不同的交点, ) B. (?

3 3 ,0) ? (0, ) 3 3 3 3 ) ? ( ,??) 3 3

则实数 m 的取值范围是 ( A. (?

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

C. [?

D. (??,?

答案:B 曲线 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 表示以 ?1,0? 为圆心,以 1 为半径的圆,曲线

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y? y ? mx ? m? ? 0 表示 y ? 0, 或y ? mx? m ? 0 过定点 ?? 1,0? , y ? 0 与圆有两个交点,

故 y ? mx? m ? 0 也应该与圆有两个交点,由图可以知道,临界情况即是与圆相切 的时候,经计算可得,两种相切分别对应 m ? ?

? 3 ? ? 3? ? ? ? 0, ? ? , 0 值范围应是 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ?

3 3 ,由图可知,m 的取 和m ? 3 3

10.如右图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方 向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这 样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是( )

答案:A

解析:根据小圆 与大圆半径 1:2 的关系,找上下左右四个

点,根据这四个点的位置,小圆转半圈,刚好是大圆的四分之一,因此 M 点的轨迹是个大圆, 而 N 点的轨迹是四条线,刚好是 M 产生的大圆的半径。

第 II 卷

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二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 已知 a ? b ? 2 , a ? 2b ? a ? b ? ?2 ,则 a 与 b 的夹角为

答 案 : 60 (

?2 ? ?

?

?? ?

.

? ) 3

?2

解 析 : 根 据 已 知 条 件 ( a ? 2 b ) ? ( a ? b ) ? ?2 , 去 括 号 得 :

?

?

?

?

1 a ? a? b ? 2 b ? 4 ? 2 ? 2 ? cos? ? 2 ? 4 ? ?2 , ? cos ? , ? ? 60。

2

(PS:这道题其实 2010 年湖南文科卷的第 6 题翻版过来的,在我们寒假班的时候也讲过一道 类似的,在文科讲义 72 页的第 2 题。

此题纯属送分题! )

12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若 1 1 此点到圆心的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则 2 4 去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .

?1? ?1? π ? ? ? ?π - ? ? ?π 13 看电影 ? 打篮球 13 ?4? ?2? 答案: 解析: 方法一: 不在家看书的概率= ? ? 16 所有情况 π 16

?1? ?1? π ? ? ? -π ? ? ? ?2? ? 4 ? ? 13 方法二:不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1— π 16

(PS: 通过生活实例与数学联系起来, 是高考青睐的方向, 但在我们春季班讲义二第一页的第五题 已经做过类似题型,那么作为理科生,并且是上过新东方春季班课程的理科生,是不是应该作对, 不解释。

2 2

2

2

13.下图是某算法程序框图,则程序运行后输出的结果是__________.xkb1.com

10. 解析:s=0,n=1;带入到解析式当中,s=0+(-1)+1=0,n=2; s=0+1+2=3, n=3; S=3+(-1)+3=5, n=4; S=5+1+4=10,此时 s>9,输出。

(PS:此题实质是 2010 江苏理科卷第 7 题得翻版,同时在我们寒假题海班,理科讲义的第 200 页的第 6 题也讲过相似的。

所以童鞋们再次遇到,应该也是灰常熟悉的。

并且框图本来就是 你们的拿手菜,所以最对也不觉奇怪。

14.若椭圆

1 x2 y2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上, 过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线, 切点分别 2 2 a b

为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

.

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答案:

1 1 x2 y2 ? ? 1 解析:设过点 (1 , ) 的直线方程为: 当斜率存在时, y ? k ( x ? 1) ? , 2 2 5 4

根据直线与圆相切,圆心(0,0)到直线的距离等于半径 1 可以得到 k= ? 立可以得到切点的坐标( , ( ,

3 ,直线与圆方程的联 4

3 4 ) ,当斜率不存在时,直线方程为:x=1,根据两点 A: (1,0) ,B: 5 5

3 4 )可以得到直线:2x+y-2=0,则与 y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0) ? b ? 2 ,与 x 轴 5 5

2 2 2

x2 y2 ?1 的交点即为焦点 ? c ? 1 , 根据公式 a ? b ? c ? 5, ? a ? 5 , 即椭圆方程为: ? 5 4

(PS:此题可能算是填空题,比较纠结的一道,因为要理清思路,计算有些繁琐。

但是,是不 是就做不出来呢,不是的,在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型,也就在理科 教材第 147 页第 23 题。

所以最纠结的一道高考题也不过如此,你们还怕什么?)

三.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅 计分.本题共 5 分. 15(1).(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? 4 cos? , 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则改曲线的直角坐标方程 为 .

答案: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 。

解析:做坐标系与参数方程的题,大家只需记住两点:1、

2 2

x ? ? ? cos? , y ? ? ? sin ? ,2、 ? 2 ? x 2 ? y 2 即可。

根据已知

? ? 2 sin ? ? 4 cos? = 2 ?

所以解析式为:

y

?

?4

x

?

, 化简可得:? 2 ? 2 y ? 4 x ? x 2 ? y 2 ,

x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0

15 (2).(不等式选择题)对于实数 x,y,若 x ?1 ? 1 , y ? 2 ? 1,则 x ? 2 y ? 1 的最 大值为 .

0 ? x ? 2, 1? y ? 3, (2)此题, 看似很难, 但其实不难, 首先解出 x 的范围, 再解出 y 的范围,

最后综合解出 x-2y+1 的范围 ?? 5,1?,那么绝对值最大,就去 5 (PS: 此题作为最后一题,有失最后一题的分量,大家从解题步骤就可看出。

所以高考注重的 还是基础+基础! )

四.本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

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某饮料公司招聘一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了 两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料, 公司要求此员工一一品尝后, 从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对, 则月工资定为 3500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元;否则月工资定 为 2100 元.令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数.假设次人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别 能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 解答: (1)选对 A 饮料的杯数分别为 ? ? 0 , ? ? 1 , ? ? 2 , ? ? 3 , ? ? 4 ,

其 概 率 分 布 分 别 为 : P?0? ?

1 3 2 2 0 4 C4 C4 16 C4 C4 36 C4 C4 1 , , , ? ? ? ? ? P 1 ? ? P 2 ? ? 4 4 C8 70 C8 70 C84 70

P?3? ?

3 1 0 4 C4 C4 16 C4 C4 1 , 。

? ? ? P 4 ? ? 4 4 C8 70 C8 70

(2) ??? ? ?

1 16 ? 36 16 1 ? ? 3500? ? 2800? ? ? ? ? ? 2100 ? 2280。

70 70 ? 70 70 70 ?

17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin (1)求 sin C 的值; (2)若 a 2 ? b2 ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值.

解: (1)已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin

C . 2

C 2

? 2 sin

C C C C C C C cos ? cos 2 ? sin 2 ? cos 2 ? sin 2 ? sin 2 2 2 2 2 2 2

整理即有: 2 sin

C C C C C? C C ? cos ? 2 sin 2 ? sin ? 0 ? sin ? 2 cos ? 2 sin ? 1? ? 0 2 2 2 2 2? 2 2 ?

C ?0 2

2

又 C 为 ?ABC 中的角,? sin

C C 1 C? 1 C C C C 1 ? C ? sin ? cos ? ? ? sin ? cos ? ? ? ?2 sin cos ? cos2 ? sin 2 ? 2 2 2 2 2? 4 2 2 2 2 4 ?

? 2 sin C C 3 3 cos ? ? sin C ? 2 2 4 4

2 2

(2)? a ? b ? 4?a ? b? ? 8

?a 2 ? b2 ? 4a ? 4b ? 4 ? 4 ? 0 ? ?a ? 2? ? ?b ? 2? ? 0 ? a ? 2, b ? 2

2 2

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又? cosC ? 1 ? sin C ?

2

7 ,?c ? a 2 ? b2 ? 2abcosC ? 7 ? 1 4

18.(本小题满分 12 分) 已知两个等比数列 ?an ?, ?bn ?,满足 a1 ? a(a ? 0),b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 . (1)若 a =1,求数列 ?an ?的通项公式; (2)若数列 ?an ?唯一,求 a 的值.

.解: (1)当 a=1 时, b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 ,又??an ?? , bn ?为等比数列,不 妨设 ? an ?公比为 q1 ,由等比数列性质知: b2 ? b1b3 ? (2 ? a2 )2 ? 2?3 ? a3 ? ,同时又有

2

a2 ? a1q1 , a3 ? a1q1 ? ?2 ? a1q1 ? ? 2 3 ? a1q1 ? ?2 ? q1 ? ? 2 3 ? q1 ? q1 ? 2 ? 2

2 2 2 2 2

?

?

?

?

所以: a n ? 2 ?

?

2

?

n ?1

,n ?1

(2) ? an ? 要 唯 一 , ? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 由 b1 ? 1 ? a ? 2, b2 ? 2 ? a2 , b3 ? 3 ? a3 且

b2 ? b1b3 ? ?2 ? aq1 ? ? ?1 ? a ? 3 ? aq1 ? aq1 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,

2

2 2 2

?

?

? a ? 0 ,?aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)

??4a ? ? 4a?3a ? 1? ? 0 ? 4a?a ? 1? ? 0 ,此时满足条件的 a 有无数多个,不符合。

2

? 当 公 比 q1 ? 0 时 , 等 比 数 列 ?an ? 首 项 为 a , 其 余 各 项 均 为 常 数 0 , 唯 一 , 此 时 由

?2 ? aq1 ?2 ? ?1 ? a??3 ? aq12 ? ? aq12 ? 4aq1 ? 3a ? 1 ? 0 ,可推得 3a ? 1 ? 0, a ? 1 符合

3 1 综上: a ? 。

3

19.(本小题满分 12 分) 1 1 设 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax. 3 2 2 (1)若 f ( x) 在 ( ,?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 ?1,4? 上的最小值为 ? , 求 f ( x) 在该区间上的最大值. 3

解: (1)已知 f ? x ? ? ?

1 3 1 2 ?2 ? x ? x ? 2ax ,? f ' ?x ? ? ? x 2 ? x ? 2a ,函数 f ?x ? 在 ? ,?? ? 3 2 ?3 ?

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上存在单调递增区间,即导函数在 ?

?2 ? ,?? ? 上 存 在 函 数 值 大 于 零 的 部 分 , ?3 ?

1 ?2? ?2? 2 ? f ? ? ? ?? ? ? ? 2a ? 0 ? a ? ? 9 ? 3? ? 3? 3

'

2

(2)已知 0<a<2, f ? x ? 在 ?1,4? 上取到最小值 ? 下,且对轴 x ?

16 3

,而 f ' ?x ? ? ? x 2 ? x ? 2a 的图像开口向

1 ,? f ' ?1? ? ?1 ? 1 ? 2a ? 2a ? 0, f ' ?4? ? ?16 ? 4 ? 2a ? 2a ? 12 ? 0, 2

则必有一点 x0 ? ?1,4?, 使得 f ' ?x0 ? ? 0, 此时函数 f ? x ? 在 ?1, x0 ? 上单调递增,在 ?x0 ,4? 单调递

1 1 1 1 1 40 ? ? 2a ? ? 2a ? 0 ,? f ?4 ? ? ? ? 64 ? ? 16 ? 8a ? ? ? 8a ? 0 3 2 6 3 2 3 40 16 ? f ?4 ? ? ? ? 8a ? ? ? a ? 1 3 3 10 2 此时,由 f ' ?x0 ? ? ? x0 ? x0 ? 2 ? 0 ? x0 ? 2或 - 1?舍去? ,所以函数 f ? x ?max ? f ?2 ? ? 3

减, f ?1? ? ?

20.(本小题满分 13 分)

P( x0 , y0 )(x0 ? ?a) 是双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,M , N 分别是双曲线 a 2 b2

1 5

E 的左、右定点,直线 PM , PN 的斜率之积为 .

(1)求双曲线的离心率;

O 为坐标原点, (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A, B 两点,

C 为双曲线上的一点,满足 OC ? ?OA ? OB ,求 ? 的值.

解: (1)已知双曲线 E:

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? , P?x0 , y0 ?在双曲线上,M,N 分别为双 a 2 b2

曲 线 E 的 左 右 顶 点 , 所 以 M ?? a,0? , N ?a,0? , 直 线 PM , PN 斜 率 之 积 为

K PM ? K PN

2 2

y0 y0 y x 5 y0 1 ? ? ? 2 0 2 ? ? 02 ? 2 ?1 x0 ? a x0 ? a x0 ? a 5 a a

2

2

2

x y 1 2 6 2 c 30 2 2 2 2 而 02 ? 02 ? 1 ,比较得 b ? a ? c ? a ? b ? a ? e ? ? a b 5 5 a 5

(2)设过右焦点且斜率为 1 的直线 L: y ? x ? c ,交双曲线 E 于 A,B 两点,则不妨设

A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,又 OC ? ?OA ? OB ? ??x1 ? x2 , ?y1 ? y2 ? ,点 C 在双曲线 E 上:

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??x1 ? x2 ?2 ? 5??y1 ? y2 ?2 ? a 2 ? ?2 ?x12 ? 5 y12 ? ? 2?x1 x2 ? 10?y1 y2 ? ?x22 ? 5 y22 ? ? a 2

(1) 又 联立直线 L 和双曲线 E 方程消去 y 得: 4 x ? 10cx ? 5c ? a ? 0

2 2 2

*

由韦达定理得: x1 x 2 ?

2 2 入(1)式得: ? a ?

5c 2 ? a 2 5c 2 ? a 2 5c 2 2 ? ? c2 代 , y1 y 2 ? x1 x2 ? c?x1 ? x2 ? ? c ? 4 4 2

7 71 ? a 2 ? ?a 2 ? a 2 ? a 2 ? ? ? 0,或 ? ? -4 2 2

21.(本小题满分 14 分) (1)如图,对于任一给定的四面体 A1 A2 A3 A4 ,找出依 次排列的四个相互平行的平面 ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ,使 得 Ai ? ? i (i=1,2,3,4) ,且其中每相邻两个平面间 的距离都相等; (2) 给定依次排列的四个相互平行的平面 ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ,其中每相邻两个平面间 的距离为 1, 若一个正四面体 A1 A2 A3 A4 的四个顶点满足: , Ai ? ?( i i=1,2,3,4) 求该正四面体 A1 A2 A3 A4 的体积.

解:

? , A3 ? , 连接 A2 A2 ? , A3 A3 ? , 作平行于 ( 1 )将直线 A1 A4 三等分,其中另两个分点依次为 A2 ? , A3 A3 ? 的平面,分别过 A2 A2 ? , A3 A3 ? ,即为 ? 2 , ?3 。

同理,过点 A1 , A4 作平面 ?1 , ? 4 即可 A2 A2

的出结论。

(2)现设正方体的棱长为 a,若 A1M ? MN ? 1, 则有 , A1M 1 ?

a , 2

D1E1 ? A1D12 ? A1E12 ?

5 a ,由于 A1D1 ? A1E1 ? A1M ? D1E1 , 得, a ? 5 , 2

1 3 5 5 a ? (即一个棱长为 a 的正 3 3

那么,正四面体的棱长为 d ? 2a ? 10 ,其体积为 V ? 方体割去四个直角三棱锥后的体积)

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