向量的数量积资料

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(向量的数量积资料图1)


(向量的数量积资料图2)


(向量的数量积资料图3)


(向量的数量积资料图4)


(向量的数量积资料图5)


(向量的数量积资料图6)


(向量的数量积资料图7)


(向量的数量积资料图8)


(向量的数量积资料图9)


(向量的数量积资料图10)


(向量的数量积资料图11)


(向量的数量积资料图12)


(向量的数量积资料图13)


(向量的数量积资料图14)


(向量的数量积资料图15)


(向量的数量积资料图16)


(向量的数量积资料图17)


(向量的数量积资料图18)


(向量的数量积资料图19)


(向量的数量积资料图20)


(向量的数量积资料图21)


(向量的数量积资料图22)

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向量的数量积

向量的数量积

?

本讲重点:向量的数量积公式,数量积的坐标运算

本讲难点:数量积公式及其变形与运用

?

问题 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s,且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应 当怎样计算?

F θ

s

W ?| F || s |cos?

? 是F 与s 的夹角,而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量,

数量

F s cos?

叫做力F 与位移s的数量积

向量的夹角的定义

B

a

O

?

A

b

定义: a, b是非零向量,任取 O点,作OA ? a, OB ? b,规定?AOB叫两向量的夹角。

0 ? ? ? 180

? ? 0 ? a与b同向,

0

A

? ? 90 ? a ? b,

0

? ? 180 ? a, b反向。

0

B

C

思考:在如图等边 三角形中所标三个 向量的夹角分别是 多大?

注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必 须是同起点的

平面向量的数量积的定义

已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即

a ? b ?| a || b | cos?

规定:零向量与任意向量的数量积为0,即 a ? 0 ?0. (1)两向量的数量积是一个数量,而不是向量,符号由 夹角决定 (2)一种新的运算法则,以前所学的运算律、性质不适合.

(3) a ·b不能写成a×b ,a×b 表示向量的另一种运算.

例题讲解

例1.已知|a |=5,|b |=4,a与b的夹角 ? ? 120?,求a · b. 解: a ·b =|a | |b |cosθ

? 5 ? 4 ? cos120? 1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? 10

物理上力所做的功实际上是将力正交分解,只有在位移方

向上的力做功.

作OA ? a, OB ? b ,过点B作 BB1

F θ

s

垂直于直线OA,垂足为 B1 ,则 OB1 ? | b | cosθ | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影. B B B b b b

?

O a

?

B1

A

B1

O

a A

? O( B1 ) a

A

θ为锐角时, | b | cosθ>0

θ为钝角时, | b | cosθ<0

θ为直角时, | b | cosθ=0

讨论总结性质:

(1)e · a=a · e=| a | cos?

(2)a⊥b ? a · b=0 (判断两向量垂直的依据) (3)当a 与b 同向时,a · b =| a | · | b |,当a 与b 反向 时, a · b =-| a | · |b| .

2 a ? a ? | a | 或 | a |? a ? a 特别地

a?b (4)cos? ? | a || b |

(5)a · b ≤| a | · |b|

向量数量积满足的运算律

( 1 ) a ? b ? b ? a; (2)(? a) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b) ? ? a ? b; (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

向量模的计算

例2:已知a ? 1, b ? 2, 夹角? ? 1200 , 求: ( 1 )(3a ? 2b) ? (4a ? b)

2

(2) a ? b

2

解:( 1 )原式 ? 12a ? 3a ? b ? 8a ? b ? 2b ?9

(2) a ? b ? ( a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ? 3

2

2

2

? 例3: 已知(a

– b)⊥(a + 3 b),求证: | a + b |= 2 | b | 解:∵ (a – b)⊥(a + 3 b)

∴ (a – b)·(a + 3 b)=0

即 a · a + 3 a· b – b · a – 3 b · b = 0 即 a · a + 2 a· b– 3 b · b = 0 ∴ (a + b)2 = 4 b2 即 | a + b |2 = 4 | b |2 ∴|a+b| =2|b|

?

解:∵ (a + 3 b )⊥(7 a – 5 b) (a – 4 b )⊥(7 a – 2 b ) ∴ (a + 3 b )· (7 a – 5 b) =0 且 (a – 4 b )·(7 a – 2 b )=0 即 7a · a + 16 a · b – 15 b ·b =0

2

例4、已知a、b都是非零向量,且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直,a – 4 b 与7 a – 2 b垂 直,求a与b的夹角。

cosθ=

7a · a - 30 a ·b + 8 b · b =0 两式相减得: 2 a · b = b 2, 代入其中任一式中得: a 2= b

(思考题)求证:直径所对圆周角为直角

?

证明:设AC是圆O的一条直径, ∠ABC为圆周角,如图 ?设AO = a,OB=b,

C b B

0

a A

则AB= a + b,OC = a, ∵| a | = | b |

则BC=OC-OB= a - b

∴AB · BC=(a+b)· (a-b) = a 2- b 2=| a | 2 - | b | 2=0 ∴ AB⊥BC ∴ ∠ABC=900 即直径所对圆周角为直角

若两个向量 a =(x1 ,y1 ), b =(x2 ,y2 )如何用 a , b 的 坐标来表示它们的数量积 ab ?

  设i,j分别是x轴和y轴上的单位向量,则     i i =1,   j j =1, i j = j i =0

  a =x1 i ? y1 j, b =x2 i +y2 j   ab ? ? ( x1 i ? y1 j ) ( x2 i +y2 j )

= x1 i  ( x2 i +y2 j ) ? y1 j ( x2 i +y2 j )     ? x1 x2 i ? x1 y2 i  j ? x2 y1 j i +y1 y2 j    ? x1 x2 ? y1 y2

2 2

a b? x1 x2 ? y1 y2

特别地,设 a =(x,y ),则 a ? x 2 +y 2 , 即             a ? x +y .

2 2 2

思考   能否用向量的方法推导出两点 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 )间的距离公式?        AB= ( x1 ? x2 ) 2 ?(y1 ? y2 )2

例2  a =(2,-1), b =(3,? 2) 求(3 a b ) ( a -2 b ).

例3  已知a=7, b=4, a?b ? 9 求a?b.

思考    a?b ? a?b ? 2(a ? b )  是一个常用的结论,如何构造一个 图形解释这个公式的几何意义?

2 2 2 2

例 4:已知a=(5, 0),b=(–3.2, 2.4),

求证:(a+b)⊥b .

证明:

∵(a+b)· b

= a· b+ b2

=5×(–3.2)+0×2.4+(–3.2)2+2.42 = 0, ∴ (a+b)⊥b .

例 6:已知:A、B、C三点坐标分别为(2,0)、 (4,2)、(0,4),直线 l 过A、B两点,求 点C到 l 的距离. y 分析一:如图, 为求CH长,由 CH=AH-AC可知,关 C 键在于求出AH. B l 由AC· AB的几何意 义,AC· AB等于AB的长度 H 与AC在AB方向上的投影的 O A x 乘积.

所以 AC· AB=AH· AB.


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